Question

已知

m

=（cos（

π

3

+x），0），

n

=（cos（

π

3

-x），2），函數(shù)f（x）=

m

•

n

，g（x）=

1

2

sin2x-

1

4

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x的集合．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知，利用向量的數(shù)量積求出函數(shù)f（x）的解析式化簡求周期；
（Ⅱ）求出函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的解析式化簡求最值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，f（x）=

m

•

n

=cos（

π

3

+x）cos（

π

3

-x）=（

1

2

cosx-

3

2

sinx）（

1

2

cosx+

3

2

sinx）=

1

4

cos²x-

3

4

sin²x=

1+cos2x

8

-

3-3cos2x

8

=

1

2

cos2x-

1

4

，所以f（x）的最小正周期為

2π

2

=π；
（Ⅱ）函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=

1

2

cos2x-

1

2

sin2x=

2

2

cos（2x+

π

4

），當2x+

π

4

=2kπ，k∈Z時，h（x）取最大值為

2

2

，此時x=kπ-

π

8

，所以h（x）取最大值時x的集合為{x|x=kπ-

π

8

，k∈Z}．

點評：本題考查了向量的數(shù)量積的坐標運算以及三角函數(shù)解析式的化簡，正確利用兩角和與差的關(guān)系式以及倍角公式化簡解析式為最簡形式是關(guān)鍵．