Question

已知向量

m

=（2sinx，2），

n

=（sin（x+

π

3

），cos²x）．記f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]時，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：利用向量的數(shù)量積運算得到f（x）的解析式化簡為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后解答

解答： 解：（Ⅰ）由已知f（x）=2sinxsin（x+

π

3

）+2cos²x=2sinx（

1

2

sinx+

3

2

cosx）+2cos²x=sin（2x+

π

6

）+

3

2

；
所以函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞減區(qū)間為2x+

π

6

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，k∈Z，
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]時，2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，所以sin（2x+

π

6

）∈[-

3

2

，1]，
f（x）的值域為[

3- 3

2

，

5

2

]．

點評：本題考查了向量的數(shù)量積運算以及三角函數(shù)的恒等變形，關(guān)鍵是正確數(shù)量積的坐標(biāo)運算以及正確熟練運用三角函數(shù)關(guān)系式化簡函數(shù)解析式，然后求相關(guān)的性質(zhì)．