Question

現(xiàn)有甲、乙兩個口袋，甲袋裝有2個紅球和2個白球，乙袋裝有2個紅球和n個白球，某人從甲、乙兩個口袋中等可能性地各取2個球．
（1）若n=3，求取到的4個球全是紅球的概率；
（2）若取到的4個球中至少有2個紅球的概率為

3

4

，求n的值．

Answer 1

分析：（1）直接利用相互獨立事件的概率乘法公式求出所求的概率為P1=

C 2 2

C 2 4

×

C 2 2

C 2 5

，運算求出結(jié)果．
（2）當(dāng)n≥2時，先求出沒有紅球的概率，再求出只有一個紅球的概率，由題意可得，把這兩個概率值相加等于

1

4

，由此求出n的值．當(dāng)n=1時，經(jīng)檢驗不合適．

解答：解：（1）所求的概率P1=

C 2 2

C 2 4

×

C 2 2

C 2 5

=

1

60

．
（2）記“取到的4個球中至少有2個紅球”為事件A，則P(

.

A

)=1-P(A)=1-

3

4

=

1

4

．
又∵當(dāng)n≥2時，沒有紅球的概率為

C 2 2

C 2 4

×

C 2 n

C 2 n+2

，只有一個紅球的概率為

C 1 2 C 1 2

C 2 4

×

C 2 n

C 2 n+2

+

C 2 2

C 2 4

×

C 1 2 C 1 n

C 2 n+2

，
∴P(

.

A

)=

1

4

=

C 2 2

C 2 4

×

C 2 n

C 2 n+2

+

C 1 2 C 1 2

C 2 4

×

C 2 n

C 2 n+2

+

C 2 2

C 2 4

×

C 1 2 C 1 n

C 2 n+2

 
=

5n(n-1)+4n

6(n+2)(n+1)

=

5n2-n

6(n+2)(n+1)

，化簡得7n²-11n-6=0，
∴（7n+3）（n-2）=0．又∵n∈N^*，且n≥2，∴n=2．
當(dāng)n=1時，P(

.

A

)=

C 2 2 C 1 2 C 1 1

C 2 4 C 2 3

=

1

9

≠

1

4

，∴n≠1．
綜上，得n=2．

點評：本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式的應(yīng)用，概率的基本性質(zhì)，所求的事件的概率等于用1減去它的對立事件概率，屬于中檔題．