Question

10．各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，且${S_{n+1}}={a_2}{S_n}+{a_1}，\;n∈{N^*}$，當(dāng)且僅當(dāng)n=1，n=2時(shí)S_n＜3成立，那么a₂的取值范圍是[1，2）．

Answer 1

分析 ${S_{n+1}}={a_2}{S_n}+{a_1}，\;n∈{N^*}$，可得：a₁+a₂=a₂•a₁+a₁，a₂＞0，解得a₁=1．由a₁+a₂+a₃=a₂（a₁+a₂）+a₁，解得：
a₃．當(dāng)且僅當(dāng)n=1，n=2時(shí)S_n＜3成立，n≥3時(shí)，S_n≥3．解出即可得出．

解答 解：∵${S_{n+1}}={a_2}{S_n}+{a_1}，\;n∈{N^*}$，
∴a₁+a₂=a₂•a₁+a₁，a₂＞0，解得a₁=1．
a₁+a₂+a₃=a₂（a₁+a₂）+a₁，解得：a₃=${a}_{2}^{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)n=1，n=2時(shí)S_n＜3成立，n≥3時(shí)，S_n≥3．
∴1+a₂+${a}_{2}^{2}$≥3，1+a₂＜3．
解得1≤a₂＜2．
那么a₂的取值范圍是[1，2）．
故答案為：[1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．