Question

6．函數(shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）；
（2）求f（x）；
（3）當(dāng)0＜x＜2時(shí)不等式f（x）＞ax-5恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=1，y=0代入條件式可得出f（0）；
（2）令y=0即可得出f（x）；
（3）分離參數(shù)可得a＜$\frac{x2+x+3}{x}$=1+x+$\frac{3}{x}$，利用基本不等式即可得出a的范圍．

解答 解：（1）令x=1，y=0，得f（1+0）-f（0）=（1+2×0+1）×1=2，
∴f（0）=f（1）-2=-2．
（2）令y=0，f（x+0）-f（0）=（x+2×0+1）•x=x²+x，
∴f（x）=x²+x-2．
（3）f（x）＞ax-5?x²+x-2＞ax-5，即ax＜x²+x+3，
∵x∈（0，2），
∴a＜$\frac{x2+x+3}{x}$=1+x+$\frac{3}{x}$．
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，1+x+$\frac{3}{x}$≥1+2$\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{3}{x}$，即x=$\sqrt{3}$時(shí)取等號(hào)，由$\sqrt{3}$∈（0，2），
得（1+x+$\frac{3}{x}$）_min=1+2$\sqrt{3}$．
∴a＜1+2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用與函數(shù)最值的計(jì)算，屬于中檔題．