Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x﹣3）ex+ax，a∈R． （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a∈[0，e）時(shí)，設(shè)函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的最小值為g（a），求函數(shù)g（a）的值域．

Answer 1

【答案】解：由題意得f'（x）=（x﹣2）ex+a，

（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f'（x）=（x﹣2）ex+1，所以f'（2）=1，

又因?yàn)閒（2）=﹣e2+2，

則所求的切線方程為y﹣（﹣e2+2）=x﹣2，即x﹣y﹣e2=0．

（Ⅱ）設(shè)h（x）=f'（x），則h'（x）=（x﹣1）ex＞0對(duì)于x＞1成立，

所以h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，又因?yàn)閍∈[0，e），

則h（1）=﹣e+a＜0，h（2）=a≥0，

所以h（x）在（1，+∞）上有唯一零點(diǎn)x=m（m∈（1，2]）．

則函數(shù)f（x）在（1，m）上單調(diào)遞減，在（m，+∞）上單調(diào)遞增，

因此當(dāng)a∈[0，e）時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的最小值為f（m）．

因?yàn)椋╩﹣2）em+a=0，則﹣a=（m﹣2）em，當(dāng)a∈[0，e）時(shí)，有m∈（1，2]．

所以函數(shù)f（x）有最小值f（m）=（m﹣3）em﹣（m﹣2）mem=（﹣m2+3m﹣3）em，（10分）

令φ（m）=（﹣m2+3m﹣3）em（m∈（1，2]），

則φ'（m）=（﹣m2+m）em＜0在（1，2]上恒成立，所以φ（m）在（1，2]上單調(diào)遞減，

因?yàn)棣眨?）=﹣e2，φ（1）=﹣e，所以φ（m）的值域?yàn)閇﹣e2，﹣e），

所以g（a）的值域?yàn)閇﹣e2，﹣e）

【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（2），f′（2），求出切線方程即可；（Ⅱ）設(shè)h（x）=f'（x），得到h（x）在（1，+∞）上有唯一零點(diǎn)x=m（m∈（1，2]），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（a），從而求出g（a）的值域即可．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值即可以解答此題．