在△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對邊，且10sin2
B+C
2
-5sin（2014π-A）=12，
π
4
＜A＜
π
2
．
（1）求cosA的值；
（2）若a=8，b=5，求向量
BA
在
BC
方向上的射影．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,兩角和與差的余弦函數(shù)
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（1）首先，根據(jù)二倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡等式，然后，直接求解cosA=
3
5
．
（2）首先，求解sinA=
1-cos2A
=
4
5
，然后，求解c=
bsinC
sinB
=3+4
3
，最后，結(jié)合射影的概念求解．
解答： 解：（1）∵10sin2
B+C
2
-5sin（2014π-A）=12，
∴10×
1-cos(B+C)
2
-5sin(-A)=12，
∴5-5cos（π-A）+5sinA=12，
∴sinA+cosA=
7
5
，
∴sinA=
7
5
-cosA，
∵sin2A+cos2A=1，
∴（
7
5
-cosA）2+cos2A=1，
∴50cos2A-70cosA+24=0，
∴cosA=
3
5
或cosA=
4
5
，
∵
π
4
＜A＜
π
2
．
∴0＜A＜
2
2
，
∴cosA=
3
5
．
∴cosA的值
3
5
；
（2）∵a=8，b=5，
根據(jù)（1），cosA=
3
5
．
∴sinA=
1-cos2A
=
4
5
，
根據(jù)正弦定理，得
a
sinA
=
b
sinB
，
∴sinB=
b
a
sinA=
1
2
，
∵sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=
4
5
×
3
2
+
3
5
×
1
2
=
3+4
3
10
，
∵
c
sinC
=
b
sinB
，
∴c=
bsinC
sinB
=3+4
3
，
∴向量
BA
在
BC
方向上的射影|
BA
|cosB=（3+4
3
）×
3
2
=6+
3
3
2
，
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了三角公式、解三角形、正弦定理、射影等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A、B兩點(diǎn)，且與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若
OP
=λ
OA
+μ
OB
，λμ=
3
16
，則該雙曲線的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

△ABC中，已知A（-2，11），B（-4，5），C（6，0），求點(diǎn)A在BC上的投影坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，一個(gè)底面半徑為
3
的圓柱被與其底面所成角為30°的平面所截，其截面是一個(gè)橢圓C．
（Ⅰ）求該橢圓C的長軸長；
（Ⅱ）以該橢圓C的中心為原點(diǎn)，長軸所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求橢圓C的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅲ）設(shè)（Ⅱ）中的兩切點(diǎn)分別為A，B，求點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x，y，z為不全為零的實(shí)數(shù)，求證：（2yz+2zx+xy）≤
33
+1
4
（x2+y2+z2）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

橢圓C的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，離心率為
3
2
，點(diǎn)A在橢圓上，以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓與l的兩個(gè)公共點(diǎn)是B，D．
（1）若△FBD是邊長為2的等邊三角形，求圓的方程；
（2）若A，F(xiàn)，B三點(diǎn)在同一條直線m上，且原點(diǎn)到直線m的距離為2，求橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（Ⅰ）已知0＜x＜1，求證：
lnx
2
＜-
1-x
1+x
；
（Ⅱ）已知k為正常數(shù)，且a＞0，曲線C：y=ekx上有兩點(diǎn)P（a，eka），Q（-a，e-ka），分別過點(diǎn)P和Q作曲線C的切線，求證：兩切線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于零．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在一個(gè)人數(shù)很多的團(tuán)體中普查某種疾病，為此要抽N個(gè)人的血，可以用兩種方法進(jìn)行．（1）將每個(gè)人的血分別去驗(yàn)，這就需N次．（2）按k個(gè)人一組進(jìn)行分組，把從k個(gè)人抽出來的血混在一起進(jìn)行檢驗(yàn)，如果這混合血液呈陰性反應(yīng)，就說明k個(gè)人的血液都呈陰性反應(yīng)，這樣，這k個(gè)人的血就只需驗(yàn)一次．若呈陽性，則再對這k個(gè)人的血液分別進(jìn)行化驗(yàn)．這樣，這k個(gè)人的血總共要化驗(yàn)k+1次．假設(shè)每個(gè)人化驗(yàn)呈陽性的概率為p，且這些人的試驗(yàn)反應(yīng)是相互獨(dú)立的．
（Ⅰ）設(shè)以k個(gè)人為一組時(shí)，記這k個(gè)人總的化驗(yàn)次數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）設(shè)以k個(gè)人為一組，從每個(gè)人平均需化驗(yàn)的次數(shù)的角度說明，若p=0.1，選擇適當(dāng)?shù)膋，按第二種方法可以減少化驗(yàn)的次數(shù)，并說明k取什么值時(shí)最適宜．（取ln0.9=-0.105）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x，y為正實(shí)數(shù)且
2
x
+
1
y
=1，若x+2y≥m2-5m-6恒成立，則m范圍是
 
．

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