【題目】如圖,點(diǎn)分別為橢圓的左右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn),過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn).

1)若,點(diǎn)與橢圓左準(zhǔn)線的距離為,求橢圓的方程;

2)已知直線的斜率是直線斜率的倍.

①求橢圓的離心率;

②若橢圓的焦距為,求面積的最大值.

【答案】1.(2)①;②

【解析】

由所給條件列出關(guān)于的式子,求出橢圓方程;(2)①方法一,首先利用點(diǎn)在橢圓上,求得,再利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立,求得,再利用的關(guān)系,求得橢圓離心率;方法二,利用的關(guān)系,分別設(shè)直線的方程為,直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,解出點(diǎn)的坐標(biāo),利用點(diǎn)三點(diǎn)共線,求得離心率.②首先求得橢圓方程,并表示面積,由①方法一,代入根與系數(shù)的關(guān)系,求面積的最大值.

1)∵,點(diǎn)與橢圓左準(zhǔn)線的距離為,

解得

∴橢圓的方程為.

2)①法一:顯然,,設(shè),,

則∵點(diǎn)在橢圓上,∴

(i),

設(shè)直線

與橢圓聯(lián)立方程組消去得:

,其兩根為,

(*)

,

將(*)代入上式化簡得:(ii)

iii

由(i)(ii)(iii)得:

,即,解得,

,∴,即橢圓的離心率為.

法二:顯然,,,

,∴設(shè)直線的方程為,直線的方程為.

注意到其一根為,∴另一根為

,即,

同理由.

三點(diǎn)共線得,

,

化簡得:,∴

,即橢圓的離心率為.

②由①,又橢圓的焦距為,∴,∴,∴

由①方法一得

面積

,

,,則,,

,∴為減函數(shù),

,即時(shí),,即面積的最大值為.

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【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),C的左、右焦點(diǎn),過的直線lC交于A,B兩點(diǎn),且的周長為

1)求C的方程;

2)若,求l的方程.

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【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年,在《九章算術(shù)》中,將底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qian du);陽馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,鱉膈(bie nao)指四個(gè)面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵中,,.給出下列四個(gè)結(jié)論:

①四棱錐為陽馬;

②直線與平面所成角為;

③當(dāng)時(shí),異面直線所成的角的余弦值為

④當(dāng)三棱錐體積最大時(shí),四棱錐的外接球的表面積為.

其中,所有正確結(jié)論的序號是______.

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【題目】甲、乙兩地相距300千米,汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不超過100千米/小時(shí),已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成,可變部分與速度(千米/小時(shí))的平方成正比,比例系數(shù)為),固定部分為1000.

1)把全程運(yùn)輸成本(元)表示為速度(千米/小時(shí))的函數(shù),并指出這個(gè)函數(shù)的定義域;

2)為了使全程運(yùn)輸成本最小,汽車應(yīng)以多大速度行駛?

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【題目】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為,曲線C的極坐標(biāo)方程為

(Ⅰ)求直線l和曲線C的直角坐標(biāo)方程;

(Ⅱ)點(diǎn)M為曲線C上一點(diǎn),求M到直線l的最小距離.

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【題目】在①的等差中項(xiàng);②的等比中項(xiàng);③數(shù)列的前5項(xiàng)和為65這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在橫線中,并解答下面的問題.

已知是公差為2的等差數(shù)列,其前項(xiàng)和為,________________________

1)求

2)設(shè),是否存在,使得?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

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【題目】定義:若一個(gè)函數(shù)存在極大值,且該極大值為負(fù)數(shù),則稱這個(gè)函數(shù)為“函數(shù)”.

1)判斷函數(shù)是否為“函數(shù)”,并說明理由;

2)若函數(shù)是“函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

3)已知,,求證:當(dāng),且時(shí),函數(shù)是“函數(shù)”.

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【題目】設(shè)函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.

1)證明:有且只有一個(gè)零點(diǎn).

2)當(dāng)時(shí),恒成立,求整數(shù)的最小值.

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【題目】如圖,已知四棱錐的底面是菱形,平面,,與平面所成的角為,點(diǎn)的中點(diǎn).

1)求證:平面平面;

2)求二面角的正切值.

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