Question

【題目】如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.對(duì)任意點(diǎn)P，平面

B.三棱錐的體積為

C.線段DP長(zhǎng)度的最小值為

D.存在點(diǎn)P，使得DP與平面所成角的大小為

Answer 1

【答案】ABC

【解析】

對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析，

對(duì)于A：平面平面，可得平面；

對(duì)于B：三棱錐的高均為1，底面的面積為，根據(jù)錐體體積公式計(jì)算即可作出判斷；

對(duì)于C：當(dāng)點(diǎn)P為的中點(diǎn)時(shí)，DP最小，此時(shí)，在中利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算可得出DP的最小值；

對(duì)于D：設(shè)點(diǎn)P在平面上的投影為點(diǎn)Q，為DP與平面所成的角，，，而，所以DP與平面所成角的正弦值的取值范圍是，而，從而作出判斷.

由題可知，正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)度為，

對(duì)于A：分別連接、、、、，易得平面平面，平面，故對(duì)任意點(diǎn)P，平面，故正確；

對(duì)于B：分別連接、，無(wú)論點(diǎn)P在哪個(gè)位置，三棱錐的高均為1，底面的面積為，所以三棱錐的體積為，故正確；

對(duì)于C：線段DP在中，當(dāng)點(diǎn)P為的中點(diǎn)時(shí)，DP最小，此時(shí)，在中，，

故DP的最小值為，故正確；

對(duì)于D：點(diǎn)P在平面上的投影在線段上，設(shè)點(diǎn)P的投影為點(diǎn)Q，則為DP與平面所成的角，，，

而，所以DP與平面所成角的正弦值的取值范圍是，而，

所以不存在點(diǎn)P，使得DP與平面所成角的大小為，故錯(cuò)誤.

故選：ABC.