Question

【題目】用長(zhǎng)度分別為的四根木條圍成一個(gè)平面四邊形，則該平面四邊形面積的最大值是____.

Answer 1

【答案】

【解析】

在四邊形ABCD中，設(shè)AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，A+C＝2α，利用余弦定理可得 SABCD2+（（a2+d2﹣b2﹣c2）2＝（ad+bc）2﹣abcdcos2α（ad+bc）2，設(shè)a＝3，b＝4，c＝5，d＝6，代入計(jì)算可得所求最大值．

在四邊形ABCD中，設(shè)AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，A+C＝2α，

由SABCD＝S△BAD+S△BCD＝adsinA+bcsinC，①

在△ABD中，BD2＝a2+d2﹣2adcosA，

在△BCD中，BD2＝b2+c2﹣2bccosC，

所以有a2+d2﹣b2﹣c2＝2adcosA﹣2bccosC，

（a2+d2﹣b2﹣c2）＝adcosA﹣bccosC，②

①2+②2可得SABCD2+（（a2+d2﹣b2﹣c2）2

＝（a2d2sin2A+b2c2sin2C+2abcdsinAsinC）+（a2d2cos2A+b2c2cos2C﹣2abcdcosAcosC）

＝ [a2d2+b2c2﹣2abcdcos（A+C）]＝ [（ad+bc）2﹣2abcd﹣2abcdcos2α]

＝（ad+bc）2﹣abcdcos2α（ad+bc）2．

當(dāng)α＝90°，即四邊形為圓內(nèi)接四邊形，此時(shí)cosα＝0，

SABCD取得最大值為．

由題意可設(shè)a＝3，b＝4，c＝5，d＝6

則該平面四邊形面積的最大值為S＝6（cm2），

故答案為：6．