(本小題滿分12分)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c.
(1)若f(-1)=0,試判斷函數(shù)f(x)零點的個數(shù);
(2)是否存在a,b,c∈R,使f(x)同時滿足以下條件:
①對任意x∈R,f(-1+x)=f(-1-x),且f(x)≥0;
②對任意x∈R,都有0≤f(x)-x≤(x-1)2.若存在,求出a,b,c的值;若不存在,請說
明理由。
(3)若對任意x1、x2∈R且x1<x2,f(x1)≠f(x2),試證明:存在x0∈(x1,x2),使f(x0)=[f(x1)+f(x2)]成立。
解:(1)∵f(-1)=0,∴a-b+C=0,則b=a+c,∵⊿=b2-4ac=(a-c)2,∴當a=c時,⊿=0,
此函數(shù)f(x)有一個零點;當a≠c時,⊿>0.函數(shù)f(x)有兩個零點.
(2)假設(shè)a,b,c存在,有(1)可知拋物線的對稱軸為x=1,∴-=-1,即b=2a,①
由(2)可知對任意的x∈R,都有0≤f(x)-x≤(x-1)2,令x=1,
得0≤f(1)-1≤0,所以,f(1)=1,即a+b+c="1, " ②又因為f(x)-x≥0恒成立,
∴a>0
(b-1)2-4ac≤0   即(a-c)2≤0,∴a=c,③ 由①②③得a=C=,b=
所以f(x)=,經(jīng)檢驗a,b,c的值符合條件.
(3)令g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x2)],則
g(x1)=f(x1)-[f(x1)+f(x2)]=[f(x1)-f(x2)]  g(x2)=f(x2)-[f(x1)+f(x2)]
={f(x2)-f(x1)},因為f(x1)≠f(x2
所以,g(x1)g(x2)<0,所以g(x)=0在(x1,x2)內(nèi)必有一個實根,
即存在x0∈(x1,x2)使f(x0)=[f(x1)+f(x2)]成立.
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(2)求的解析式;
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①x<f(x)                          ②α<f(x)                 ③x>f(x)                  ④α>f(x)
A.①④B.③④C.①②D.②④

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