【題目】如圖所示,已知拋物線Cy2=4x的焦點為F,直線l經(jīng)過點F且與拋物線C相交于A、B兩點.

(1)若線段AB的中點在直線y=2上,求直線l的方程;

(2)若線段|AB|=20,求直線l的方程.

【答案】(1);(2)

【解析】試題分析:(1)設(shè)直線l的斜率為k,A(x1,y1),B(x2y2),AB的中點M(x0,y0),由點差法,可得2y0k=4,又,所以。(2)設(shè)直線l的方程為xmy+1,與拋物線聯(lián)立組方程組,由弦長公式與志達定理,可求得參數(shù)m的值.

試題解析:(1)由已知得拋物線的焦點為F(1,0).因為線段AB的中點在直線y=2上,所以直線l的斜率存在,設(shè)直線l的斜率為k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點M(x0,y0),

(y1y2)(y1y2)=4(x1x2),所以2y0k=4.

y0=2,所以k=1,故直線l的方程是yx-1.

(2)設(shè)直線l的方程為xmy+1,與拋物線方程聯(lián)立得消元得y2-4my-4=0,所以y1y2=4my1y2=-4,Δ=16(m2+1)>0.

|AB||y1y2|·

·4(m21)

所以4(m2+1)=20,解得m=±2,

所以直線l的方程是x=±2y+1,

x±2y-1=0.

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