Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2|x-1|+x-1，g（x）=16x²-8x+1，若f（x）≤1的解集為M，g（x）≤4的解集為N，當x∈M∩N時，則函數(shù)F（x）=x²f（x）+x[f（x）]²的最大值是（　�。�

• A、0
• B、-

  5

  16

• C、

  4

  9

• D、

  1

  4

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：根據(jù)絕對值不等式的解法求出集合M，N，以及M∩N，然后求出函數(shù)F（x）的表達式，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：f（x）=2|x-1|+x-1=

3x-3， x≥1 1-x， x＜1

，
若x≥1，由f（x）≤1得3x-3≤1得x≤

4

3

，
此時得1≤x≤

4

3

，
若x＜1，由f（x）≤1得1-x≤1得x≥0，
此時得0≤x＜1．
綜上，原不等式的解集M為[0，

4

3

]．
由g（x）=16x²-8x+1≤4，求得-

1

4

≤x≤

3

4

，
∴N=[-

1

4

，

3

4

]，
∴M∩N=[0，

3

4

]．
∵當x∈M∩N時，f（x）=1-x，
F（x）=x²f（x）+x[f（x）]² =xf（x）[x+f（x）]=x（1-x）
=

1

4

-（x-

1

2

）²≤

1

4

，當且僅當x=

1

2

時，取得最大值

1

4

．
則函數(shù)的最大值為

1

4

．
故選：D．

點評：本題主要考查函數(shù)最值的求解，根據(jù)絕對值不等式的解法以及一元二次函數(shù)以及一元二次不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．，體現(xiàn)了分類討論、等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．