Question

如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA=AD=2，M，N分別是AB、PC的中點
（1）求證：MN∥平面PAD
（2）求證：平面MND⊥平面PCD
（3）求二面角N-MD-C的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得PA⊥AB，PA⊥CD，AB⊥AD，建立空間直角坐標系，求出平面PAD的一個法向量為

AB

=(2，0，0)，

MN

=(0，1，1)，由

AB

•

MN

=0，MN?平面PAD，能證明MN∥平面PAD．
（2）求出平面MND的一個法向量和平面PDC的一個法向量，利用向量法能證明平面MND⊥平面PCD．
（3）求出平面MND的一個法向量和平面MBCD的一個法向量，利用向量法能示出二面角N-MD-C的余弦值．

解答： （1）證明：因為PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥CD，又四邊形ABCD為正方形，所以AB⊥AD，
如圖，建立空間直角坐標系，
因為PA=AD=2，M，N分別是AB，PC的中點
所以P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），
D（0，2，0），M（1，0，0），N（1，1，1）…（2分）
因為AB⊥AD，PA⊥AB，PA∩AD=A，
所以AB⊥平面PAD，
即平面PAD的一個法向量為

AB

=(2，0，0)，
又

MN

=(0，1，1)，所以

AB

•

MN

=0，
又MN?平面PAD，所以MN∥平面PAD．…（4分）
（2）證明：

MN

=(0，1，1)，

MD

=(-1，2，0)，
設(shè)平面MND的一個法向量

n1

=(x1，y1，z1)，
則

MN

•

n1

=0，

MD

•

n1

=0，所以

y1+z1=0 -x1+2y1=0

，
令y₁=1，則x₁=2，z₁=-1，
所以

n1

=(2，1，-1)，

PC

=(2，2，-2)，

PD

=(0，2，-2)，
設(shè)平面PDC的一個法向量

n2

=(x2，y2，z2)，
則

PC

•

n2

=0，

PD

•

n2

=0，所以

2x2+2y2-2z2=0 2y2-2z2=0

，
令y₂=1，則x₂=0，z₂=1，所以

n2

=(0，1，1)，
又

n1

•

n2

=2×0+1×1+(-1)×1=0
所以：平面MND⊥平面PCD．…（9分）
（3）解：由（2）可知

n1

=(2，1，-1)是平面MND的一個法向量，
因為PA⊥平面ABCD，
所以

PA

=(0，0，-2)是平面MBCD的一個法向量．

又cos?

n1

，

AP

＞=

n1 • AP

| n1 || AP |

=

2

6 ×2

=

6

6

，
所以二面角N-MD-C的余弦值為

6

6

．…（14分）

點評：本題考查直線與平面垂直的判定定理、平面與平面垂直的性質(zhì)定理、勾股定理、二面角的求解等基礎(chǔ)知識和空間向量的立體幾何中的應(yīng)用，意在考查方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法和考生的空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力．