Question

已知函數f（x）=lg[

1+2x+3x+…+(n-1)x+a•nx

n

]，a∈R，n∈N^*且n≥2，若f（x）在（-∞，1]上有意義，求a的范圍．

Answer 1

考點：對數的運算性質

專題：函數的性質及應用

分析：由函數f（x）=lg[

1+2x+3x+…+(n-1)x+a•nx

n

]，可得a＞-[(

1

n

)x+(

2

n

)x+…+(

n-1

n

)x]．已知f（x）在（-∞，1]上有意義，而y=(

i

n

)x（i∈N^*，i≤n-1），在（-∞，1]上單調遞減，可得-[(

1

n

)x+(

1

n

)x+…+(

i-1

n

)x]在（-∞，1]上單調遞增．即可得出．

解答： 解：由函數f（x）=lg[

1+2x+3x+…+(n-1)x+a•nx

n

]，
可得

1+2x+3x+…+(n-1)x+a•nx

n

＞0，
∴a＞-[(

1

n

)x+(

2

n

)x+…+(

n-1

n

)x]，
∵f（x）在（-∞，1]上有意義，
而y=(

i

n

)x（i∈N^*，i≤n-1），在（-∞，1]上單調遞減，
∴-[(

1

n

)x+(

1

n

)x+…+(

i-1

n

)x]在（-∞，1]上單調遞增．
∴a＞-(

1

n

+

2

n

+…+

n-1

n

)=-

n-1

2

．
∴a的范圍是a＞-

n-1

2

．

點評：本題考查了對數函數的定義域、函數的單調性，考查了計算能力，屬于中檔題．