設f(x)=x+
4
x
，
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在（0，2]和[2，+∞）的單調(diào)性，并用定義證明．
（1）由f(x)=x+
4
x
知，定義域為{x|x≠0}
顯然，定義域關于原點對稱．
f(-x)=-x+
4
-x
=-(x+
4
x
)=-f（x）
所以．f（x）為奇函數(shù)
（2）①任取x1＜x2且x1，x2∈（0，2]
由題意，f（x1）-f（x2）=x1+
4
x1
-(x2+
4
x2
)
=（x1-x2）+4
x2-x1
x1x2

=（x1-x2）（1-
4
x1x2
）
因為x1＜x2且x1，x2∈（0，2]
則x1-x2＜0；
0＜x1x2＜4，
4
x1x2
＞1，所以1-
4
x1x2
＜0
=（x1-x2）（1-
4
x1x2
）＞0
故f（x1）＞f（x2）
所以，f（x）在（0，2]為上的減函數(shù)．
②任取x1＜x2且x1，x2∈[2，+∞）
由題意，f（x1）-f（x2）=x1+
4
x1
-(x2+
4
x2
)
=（x1-x2）+4
x2-x1
x1x2

=（x1-x2）（1-
4
x1x2
）
因為x1＜x2且x1，x2∈[2，+∞）
則x1-x2＜0；
x1x2＞4，0＜
4
x1x2
＜1，所以1-
4
x1x2
＞0
=（x1-x2）（1-
4
x1x2
）＜0
故f（x1）＜f（x2）
所以，f（x）在為[2，+∞）上的增函數(shù)．
∴f（x）在（0，2]上為減函數(shù)，[2，+∞）上為增函數(shù)．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，a∈R．
（1）討論y=f（x）的單調(diào)性；（2）若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=g（x）對于區(qū)間D上的任意兩個值x1、x2總有不等式
1
2
[g(x1)+g(x2)]≥g(
x1+x2
2
)成立，則稱函數(shù)y=g（x）為區(qū)間D上的“凹函數(shù)”．
試證明：當a=-1時，g(x)=|f(x)|+
1
x
為“凹函數(shù)”．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設函數(shù)f（x）=
a2x-(t-1)
ax
（a＞0且a≠1）是定義域為R的奇函數(shù)
（1）求t的值；
（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx-x2）+f（x-1）＜0對一切x∈R恒成立的實數(shù)k的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）的反函數(shù)過點(
3
2
，1)，是否存在正數(shù)m，且m≠1使函數(shù)g(x)=logm[a2x+a-2x-mf(x)]在[1，log23]上的最大值為0，若存在求出m的值，若不存在請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設函數(shù)f（x）對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-2
（1）證明f（x）為奇函數(shù)．
（2）證明f（x）在R上是減函數(shù)．
（3）若f（2x+5）+f（6-7x）＞4，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=
a
a2-1
（ax-a-x），（a＞0且a≠1）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明；
（2）當函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1）時，求使f（1-m）+f（1-m2）＜0成立的實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知偶函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)，且f（1）=0，則滿足xf（x）＜0的x的取值的范圍為（　�。�
A．（-1，1）B．[-1，1]C．（-∞，-1）∪（0，1）D．（-1，0）∪（1，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

設函數(shù)f（x）的定義域為D，若存在非零實數(shù)t使得對于任意x∈M（M⊆D），有x+t∈D，且f（x+t）≥f（x），則稱f（x）為M上的t高調(diào)函數(shù)．如果定義域為[-1，+∞）的函數(shù)f（x）=x2為[-1，+∞）上的m高調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)m的取值范圍是 ______．如果定義域為R的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=|x-a2|-a2，且f（x）為R上的4高調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是 ______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設函數(shù)f（x）=x2-2|x|-1（-3≤x≤3）
（1）證明f（x）是偶函數(shù)；
（2）指出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）求函數(shù)的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f(x)=(
1
2
)x+1，則f（x）的圖象大致是（　　）
A．B．C．D．

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