已知函數(shù)f(x)=
a
a2-1
(ax-a-x),(a>0且a≠1).
(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并證明;
(2)當(dāng)函數(shù)f(x)的定義域為(-1,1)時,求使f(1-m)+f(1-m2)<0成立的實數(shù)m的取值范圍.
(1)函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù).
證明如下:設(shè)x1,x2∈R,且x1<x2,
則f(x1)-f(x2)=
a
a2-1
[(ax1-a-x1)-(ax2-a-x2)]=
a
a2-1
(ax1-ax2)(1+
1
ax1ax2
)

當(dāng)a>1時,a2-1>0,ax1-ax2<0,
∴f(x1)<f(x2);
當(dāng)0<a<1時,a2-1<0,ax1-ax2>0,
∴f(x1)<f(x2);
∴當(dāng)a>0且a≠1時,f(x)在R上是增函數(shù);
(2)∵f(x)定義域為(-1,1),在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱,…(8分)
又∵f(-x)=
a
a2-1
(a-x-ax)
=-
a
a2-1
(ax-a-x)
=-f(x),
∴f(x)是定義域(-1,1)上的奇函數(shù).…(10分)
由f(1-m)+f(1-m2)<0得f(1-m)<-f(1-m2),∴f(1-m)<f(m2-1),…(12分)
-1<1-m<1
-1<1-m2<1
1-m<m2-1
,…(14分)
解得1<m<
2
即為所求m的取值范圍.…(15分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
px2+2
-3x
,且f(2)=-
5
3

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)判斷f(x)的奇偶性;
(3)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性,并加以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知f(x)=x2+ax+3
(1)當(dāng)x∈R時,f(x)≥a恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)x∈(-∞,1)時,f(x)≥a恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知關(guān)于x的不等式ex|x-a|≥x在x∈R上恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知f(x)是R上的奇函數(shù),且滿足f(x+2)=-f(x),當(dāng)x∈(0,2)時,f(x)=2x2,則f(2023)等于( 。
A.-4B.4C.-2D.0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)且最大值為5,那么f(x)在區(qū)間[-7,-3]上是(  )
A.增函數(shù)且最小值為-5B.增函數(shù)且最大值為-5
C.減函數(shù)且最大值是-5D.減函數(shù)且最小值是-5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)f(x)=x+
4
x
,
(1)判斷f(x)的奇偶性;
(2)判斷f(x)在(0,2]和[2,+∞)的單調(diào)性,并用定義證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

偶函數(shù)f(x)在(-∞,0)上是增函數(shù),問它在(0,+∞)是增函數(shù)還是減函數(shù)?能否用函數(shù)單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

對定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x),若存在閉區(qū)間[a,b]⊆D和常數(shù)C,使得對任意的x∈[a,b]都有f(x)=C,且對任意的x∉[a,b]都有f(x)>C恒成立,則稱函數(shù)f(x)為區(qū)間D上的“U型”函數(shù).
(1)求證函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函數(shù);
(2)設(shè)函數(shù)f(x)是(1)中的“U型”函數(shù),若不等式|t-1|+|t-2|≤f(x)對一切t∈R恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.
(3)若函數(shù)g(x)=mx+
x2+2x+n
是區(qū)間[-2,+∞)上的“U型”函數(shù),求實數(shù)m和n的值.

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