【題目】已知函數(shù) ( m 為常數(shù)).

(Ⅰ)若曲線 y f x 在點(diǎn) 0, f 0 處的切線斜率為 1 ,求實(shí)數(shù) m 的值.

(Ⅱ)求函數(shù) f x 的極值.

(Ⅲ)證明:當(dāng) x 0 時(shí),

【答案】(1)m = 2 ;(2)f (x)的極小值為,無(wú)極大值;(3)證明見(jiàn)解析.

【解析】

(Ⅰ)求出f′(x)=ex﹣m,(m∈R),f′(0)=1﹣m,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出m;(Ⅱ)由f′(x)=ex﹣m,(m∈R),函數(shù)f(x)定義域?yàn)椋ī?/span>∞,+∞),利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f(x)的極值;(Ⅲ)設(shè)函數(shù)g(x)=ex﹣x2,則g′(x)=ex﹣2x,當(dāng)m=2時(shí),g′(x)=f(x)≥f(ln2),由g′(x)>0恒成立,能證明ex>x2

(Ⅰ)∵函數(shù)f(x)=ex﹣mx(m為常數(shù)),

∴f′(x)=ex﹣m,(m∈R),∴f′(0)=1﹣m,

∵曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))的切線斜率為﹣1,

∴f′(0)=1﹣m=﹣1,

解得m=2.

(Ⅱ)∵f′(x)=ex﹣m,(m∈R),

函數(shù)f(x)定義域?yàn)椋ī?/span>∞,+∞),

當(dāng)m≤0時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞增,

此時(shí)沒(méi)有極值;

當(dāng)m>0時(shí),令f′(x)=0,解得x=lnm,

則隨著x的變化,f′(x),f(x)變化如下表:

x

(﹣∞,lnm)

lnm

(lnm,+∞)

f′(x)

0

+

f(x)

極小值

由上表知函數(shù)f(x)在(lnm,+∞)上單調(diào)遞增,在(﹣∞,lnm)上單調(diào)遞減,

則在x=lnm處取得極小值f(lnm)=elnm﹣mlnm=m(1﹣lnm),

無(wú)極大值.

證明:(Ⅲ)設(shè)函數(shù)g(x)=ex﹣x2,

g′(x)=ex﹣2x,

由(Ⅱ)知m=2時(shí),g′(x)=f(x)≥f(ln2),

∵f(ln2)=2(1﹣ln2)>0,∴g′(x)>0恒成立,

即函數(shù)g(x)在R上遞增,

∵g(0)=1,∴當(dāng)x>0時(shí),g(x)>g(0)>0,

∴ex>x2

練習(xí)冊(cè)系列答案
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高一(2)班20名學(xué)生成績(jī)莖葉圖:

4

5

5

2

6

4 5 6 8

7

0 5 5 8 8 8 8 9

8

0 0 5 5

9

4 5

(Ⅰ)分別計(jì)算兩個(gè)班這20名同學(xué)的測(cè)試成績(jī)?cè)赱80,90)的頻率,并補(bǔ)全頻率分布直方圖;
(Ⅱ)分別從兩個(gè)班隨機(jī)選取1人,設(shè)這兩人中成績(jī)?cè)赱80,90)的人數(shù)為X,求X的分布列(頻率當(dāng)作概率使用).
(Ⅲ)運(yùn)用所學(xué)統(tǒng)計(jì)知識(shí)分析比較兩個(gè)班學(xué)生的古詩(shī)詞水平.

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【題目】某玩具所需成本費(fèi)用為PP=1 000+5xx2,而每套售出的價(jià)格為Q其中Q(x)=a (a,bR),

(1)問(wèn):玩具廠生產(chǎn)多少套時(shí),使得每套所需成本費(fèi)用最少?

(2)若生產(chǎn)出的玩具能全部售出,且當(dāng)產(chǎn)量為150套時(shí)利潤(rùn)最大此時(shí)每套價(jià)格為30,a,b的值.(利潤(rùn)=銷售收入-成本).

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(1)求的值;

(2)從樣本中體重在區(qū)間上的女生中隨機(jī)抽取兩人,求體重在區(qū)間上的女生至少有一人被抽中的概率.

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時(shí)間

周一

周二

周三

周四

周五

車流量(萬(wàn)輛)

50

51

54

57

58

的濃度(微克/立方米)

69

70

74

78

79

(1)請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù),在下面給出的坐標(biāo)系中畫(huà)出散點(diǎn)圖;

(2)試判斷是否具有線性關(guān)系,若有請(qǐng)求出關(guān)于的線性回歸方程,若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)若周六同一時(shí)間段的車流量為60萬(wàn)輛,試根據(jù)(2)得出的結(jié)論,預(yù)報(bào)該時(shí)間段的的濃度(保留整數(shù)).

參考公式: .

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【題目】下列說(shuō)法

①在殘差圖中,殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi),說(shuō)明選用的模型比較合適;②用相關(guān)指數(shù)可以刻畫(huà)回歸的效果,值越小說(shuō)明模型的擬合效果越好;③比較兩個(gè)模型的擬合效果,可以比較殘差平方和大小,殘差平方和越小的模型擬合效果越好.其中說(shuō)法正確的是(  )

A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③

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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知過(guò)點(diǎn)的直線的參數(shù)方程是為參數(shù)).以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程式為.

)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;

)若直線與曲線交于兩點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)的值.

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