Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線(xiàn)設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線(xiàn)l上.

（1）若圓心C也在直線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)作圓C的切線(xiàn)，求切線(xiàn)的方程；

（2）若圓C上存在點(diǎn)M，使得，求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）所求切線(xiàn)方程為或；（2）

【解析】

（1）先求得圓心，再根據(jù)半徑為1，可得圓的方程.分類(lèi)討論斜率不存在和存在時(shí)的情況，由圓心到切線(xiàn)的距離等于半徑求得切線(xiàn)方程；
（2）可設(shè)圓心，設(shè)點(diǎn)，則由可得，設(shè)此圓為圓D，由題意可得，圓C和圓D有交點(diǎn)，故兩圓相交，由此有，解之可得的取值范圍.

（1）由題設(shè)，知圓心C是直線(xiàn)和的交點(diǎn)，

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為，圓C的方程為，

當(dāng)過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，切線(xiàn)方程為，滿(mǎn)足條件；

當(dāng)過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率存在時(shí)，

設(shè)切線(xiàn)方程為，

由題意得，解得，

所以切線(xiàn)方程為.

故所求切線(xiàn)方程為或.

（2）因?yàn)閳A心C在直線(xiàn)上，

所以設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，

圓C的方程為，

設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?/span>，

所以，

化簡(jiǎn)得，即，

所以點(diǎn)M在以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上.

由題意，點(diǎn)在圓C上，

所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，

則，即，

解得.

所以圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍為.