Question

12．已知點M（1，m）在拋物線C：y²=2px（P＞0）上，且M到拋物線C的焦點F的距離等于2．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若直線l與拋物線C相交于A、B兩點，且OA⊥OB（O為坐標原點）．求證直線AB恒過x軸上的某定點，并求出該定點坐標．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的定義可知：1+$\frac{p}{2}$=2，即可求得p，代入求得拋物線C的方程；
（2）當當直線l的斜率不存在時，設(shè)l：x=t，（t＞0）求得A點坐標，代入即可求得t的值；當直線的斜率存在時，設(shè)直線l：y=kx+m，代入拋物線方程由韋達定理可知x₁+x₂=-$\frac{2km-4}{{k}^{2}}$且x₁x₂=$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}}$，由OA⊥OB，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示，求得k與m的關(guān)系，求得直線方程y=k（x-4），直線AB恒過x軸上的定點N（4，0）．

解答 解：（1）∵點M（1，m）在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，點M到拋物線C的焦點F的距離為2，
∴1+$\frac{p}{2}$=2，
∴p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x；
（2）證明：當直線l的斜率不存在時，設(shè)l：x=t，（t＞0）與拋物線第一象限交于A點，
∵OA⊥OB，
∴A（t，t），
代入整理得t²=4t，解得：t=4，
∴故直線恒過定點N（4，0）
當直線的斜率存在時，設(shè)直線l：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立y²=4x得kx²+（2km-4）x+m²=0，
依題意有k≠0，由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2km-4}{{k}^{2}}$且x₁x₂=$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}}$①，
∵OA⊥OB，
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
將①代入化簡得m²+4km=0，故m=-4k，
此時直線l：y=kx-4k=k（x-4），
直線AB恒過x軸上的定點N（4，0）．

點評 本題考查拋物線的標準方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．