Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，設(shè)，，若對任意，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)分類討論參數(shù)的范圍，利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性即可；

(2)利用導數(shù)證明函數(shù)與在區(qū)間的單調(diào)性，利用單調(diào)性化簡題設(shè)條件，構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)為減函數(shù)，得出在上恒成立，再次構(gòu)造函數(shù)，分類討論參數(shù)利用導數(shù)的范圍，利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合在上恒成立，求出的范圍.

（1），令，

①當時，，所以在上單調(diào)遞增；

②當時，令，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

③當時，令，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（2）

因為，當時，，在單調(diào)遞減；

，當時，，在單調(diào)遞減．

因為對任意，

不妨設(shè)，則由兩函數(shù)的單調(diào)性可得：，對任意恒成立

令

則對任意恒成立

即在上單調(diào)遞減

即在上恒成立，令

當時，在恒成立

，G(x)在上單調(diào)遞減，，滿足題意；

當時，G(x)有兩個極值點且，

∴在上，G(x)單調(diào)遞增，即對任意上恒成立，不滿足題意，舍去；

綜上：當時，不等式在恒成立．