Question

已知函數(shù)
（1）求證：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]上的單調(diào)性；
（3）根據(jù)以上結(jié)論猜測(cè)f（x）在[-2，0）上的單調(diào)性，不需要證明．

Answer 1

解：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，則=，
∴f（x）=f（-x）．
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，則=，
∴f（x）=f（-x）．
綜上所述，對(duì)于x≠0，都有f（x）=f（-x），∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，，
設(shè)x₂＞x₁＞0，則．
當(dāng)2≥x₂＞x₁＞0時(shí)，f（x₂）-f（x₁）＜0，∴函數(shù)f（x）在（0，2]上是減函數(shù)．
（3）根據(jù)偶函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性可得，函數(shù)為增函數(shù)．
分析：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，證明f（x）=f（-x）；當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，證明f（x）=f（-x），可得對(duì)于x≠0，
都有f（x）=f（-x），故 函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
（2）設(shè)x₂＞x₁＞0，則，當(dāng)2≥x₂＞x₁＞0時(shí)，f（x₂）-f（x₁）＜0，
故函數(shù)f（x）在（0，2]上是減函數(shù)．
（3）根據(jù)偶函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性可得，函數(shù)為增函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查證明函數(shù)的奇偶性的方法，以及證明函數(shù)的單調(diào)性的證明方法，偶函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性，明函數(shù)的奇偶性
是解題的難點(diǎn)．