(2013•未央?yún)^(qū)三模)在數(shù)列{an}中,a1=
2
3
,且對(duì)任意的n∈N+都有an+1=
2an
an+1

(Ⅰ)求證:{
1
an
-1}
是等比數(shù)列;
(Ⅱ)若對(duì)于任意n∈N+都有an+1<pan,求實(shí)數(shù)P的取值范圍.
分析:(Ⅰ)直接利用an+1=
2an
an+1
可得
1
an+1
-1=
an+1
2an
-1=
1-an
2an
=
1
2
(
1
an
-1)
;再求出首項(xiàng)不為0即可證:{
1
an
-1}
是等比數(shù)列;
(Ⅱ)先利用(Ⅰ)的結(jié)論求出數(shù)列{an}的通項(xiàng),代入an+1<pan把其整理為p>1+
1
2n+1+1
,再利用函數(shù)的單調(diào)性求出不等式右邊的取值范圍即可得出實(shí)數(shù)P的取值范圍.
解答:解:
(Ⅰ)證明:由an+1=
2an
an+1
,得
1
an+1
-1=
an+1
2an
-1=
1-an
2an
=
1
2
(
1
an
-1)

又由a1=
2
3
,得
1
a1
-1=
1
2
≠0

{
1
an
-1}
是以
1
a1
-1=
1
2
為首項(xiàng),以
1
2
為公比的等比數(shù)列.
(Ⅱ)由(Ⅰ),可得
1
an
-1=
1
2
×(
1
2
)n-1=
1
2n

an=
2n
2n+1
,an+1=
2n+1
2n+1+1

∵an+1<pan(n∈N+),
p>
an+1
an
=
2n+1
2n+1+1
2n+1
2n
=
2n+1+2
2n+1+1
=1+
1
2n+1+1

顯然,當(dāng)n=1時(shí),1+
1
2n+1+1
值最大,且最大值為
6
5

∴實(shí)數(shù)p的取值范圍為p>
6
5
點(diǎn)評(píng):本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用以及等比數(shù)列的證明和數(shù)列與函數(shù)的綜合問題,是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的綜合考查,屬于中檔題目.
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a
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1
6
1
6

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