【題目】如圖,已知四棱錐P-ABCD,△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點.
(I)證明:CE∥平面PAB;
(II)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值
【答案】(I)見解析;(II).
【解析】試題本題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系,直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識,同時考查空間想象能力和運算求解能力。滿分15分。
(Ⅰ)取PA中點F,構(gòu)造平行四邊形BCEF,可證明;(Ⅱ)由題意,取BC,AD的中點M,N,可得AD⊥平面PBN,即BC⊥平面PBN,過點Q作PB的垂線,垂足為H,連結(jié)MH.可知MH是MQ在平面PBC上的射影,所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角.依此可在Rt△MQH中,求∠QMH的正弦值.
試題解析:
(Ⅰ)如圖,設(shè)PA中點為F,連接EF,FB.
因為E,F分別為PD,PA中點,所以且,
又因為, ,所以且,
即四邊形BCEF為平行四邊形,所以,
因此平面PAB.
(Ⅱ)分別取BC,AD的中點為M,N.連接PN交EF于點Q,連接MQ.
因為E,F,N分別是PD,PA,AD的中點,所以Q為EF中點,
在平行四邊形BCEF中,MQ//CE.
由△PAD為等腰直角三角形得PN⊥AD.
由DC⊥AD,N是AD的中點得BN⊥AD.
所以AD⊥平面PBN,
由BC//AD得BC⊥平面PBN,
那么平面PBC⊥平面PBN.
過點Q作PB的垂線,垂足為H,連接MH.
MH是MQ在平面PBC上的射影,所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角.
設(shè)CD=1.
在△PCD中,由PC=2,CD=1,PD=得CE=,
在△PBN中,由PN=BN=1,PB=得QH=,
在Rt△MQH中,QH=,MQ=,
所以sin∠QMH=,
所以直線CE與平面PBC所成角的正弦值是.
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【題目】已知向量
(1)若分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時第一次,第二次出現(xiàn)的點數(shù),求滿足的概率;
(2)若在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值,求滿足的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|x2-3x≤10}.
(1)若a=3,求(RP)∩Q;
(2)若P∪Q=Q,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】2018年2月22日上午,山東省省委、省政府在濟(jì)南召開山東省全面展開新舊動能轉(zhuǎn)換重大工程動員大會,會議動員各方力量,迅速全面展開新舊動能轉(zhuǎn)換重大工程.某企業(yè)響應(yīng)號召,對現(xiàn)有設(shè)備進(jìn)行改造,為了分析設(shè)備改造前后的效果,現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了200件產(chǎn)品作為樣本,檢測一項質(zhì)量指標(biāo)值,若該項質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品,否則為不合格品.圖1是設(shè)備改造前的樣本的頻率分布直方圖,表1是設(shè)備改造后的樣本的頻數(shù)分布表.
表1:設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表
質(zhì)量指標(biāo)值 | ||||||
頻數(shù) | 4 | 36 | 96 | 28 | 32 | 4 |
(1)完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān);
設(shè)備改造前 | 設(shè)備改造后 | 合計 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合計 |
(2)根據(jù)圖1和表1提供的數(shù)據(jù),試從產(chǎn)品合格率的角度對改造前后設(shè)備的優(yōu)劣進(jìn)行比較;
(3)根據(jù)市場調(diào)查,設(shè)備改造后,每生產(chǎn)一件合格品企業(yè)可獲利180元,一件不合格品虧損 100元,用頻率估計概率,則生產(chǎn)1000件產(chǎn)品企業(yè)大約能獲利多少元?
附:
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,動圓經(jīng)過點并且與直線相切,設(shè)動圓圓心的軌跡為曲線.
(1)如果直線過點(0,4),且和曲線只有一個公共點,求直線的方程;
(2)已知不經(jīng)過原點的直線與曲線相交于、兩點,判斷命題“如果,那么直線經(jīng)過點”是真命題還是假命題,并說明理由.
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【題目】設(shè)a >0,已知函數(shù) (x>0).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)試判斷函數(shù)在上是否有兩個零點,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某射擊運動員每次擊中目標(biāo)的概率都是0.7.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計該運動員射擊4次,至少擊中2次的概率:先由計算器算出0~9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定0,1,2表示沒有擊中目標(biāo),3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標(biāo);因為射擊4次,故以每4個隨機(jī)數(shù)為一組,代表射擊4次的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù):
5727 0293 7140 9857 0347
4373 8636 9647 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011
3661 9597 7424 6710 4281
據(jù)此估計,該射擊運動員射擊4次至少擊中2次的概率為( )
A. 0.8 B. 0.85 C. 0.9 D. 0.95
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【題目】據(jù)統(tǒng)計,某地區(qū)植被覆蓋面積公頃與當(dāng)?shù)貧鉁叵陆档亩葦?shù)之間呈線性相關(guān)關(guān)系,對應(yīng)數(shù)據(jù)如下:
公頃 | 20 | 40 | 60 | 80 |
3 | 4 | 4 | 5 |
請用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
根據(jù)中所求線性回歸方程,如果植被覆蓋面積為300公頃,那么下降的氣溫大約是多少?
參考公式:線性回歸方程;其中,.
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