Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，AC⊥BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面A₁ABB₁； 
（Ⅱ）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）線段AB上是否存在點(diǎn)M，使得A₁M⊥平面CDB₁？

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知先證明CD⊥AB，又在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥CD，且AB∩AA₁=A，即可證明CD⊥平面A₁ABB₁； 
（Ⅱ）連結(jié)BC₁，設(shè)BC₁與B₁C的交點(diǎn)為E，連接DE，證得DE∥AC₁；由線面平行的判定定理即可證明AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）存在點(diǎn)M為B，由（Ⅰ）知CD⊥平面A₁ABB₁，又A₁B?A₁ABB₁，可得CD⊥A₁B，由已知可得A₁A：AB=BD：BB₁=1：

2

，即證明A₁B⊥B₁D，又CD∩B₁D=D，從而證明A₁B⊥平面CDB₁．

解答： 證明：（Ⅰ）∵AC=BC，AC⊥BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
∴CD=

1

2

AB，由勾股定理可得CD⊥AB，
又∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥CD，且AB∩AA₁=A，
∴CD⊥平面A₁ABB₁； 
（Ⅱ）連結(jié)BC₁，設(shè)BC₁與B₁C的交點(diǎn)為E，連結(jié)DE．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁，CC₁⊥底面ABC，
CC₁=BC=2，
∴四邊形BCC₁B₁為正方形．
∴E為BC₁中點(diǎn)．
∵D是AB的中點(diǎn)，
∴DE∥AC₁．
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）存在點(diǎn)M為B，證明如下：
由（Ⅰ）知CD⊥平面A₁ABB₁，又A₁B?A₁ABB₁，
∴CD⊥A₁B，
∵AC=BC=CC₁，AC⊥BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
∴A₁A：AB=BD：BB₁=1：

2

，
∴A₁B⊥B₁D，
又CD∩B₁D=D，
∴A₁B⊥平面CDB₁．
從而得證．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．