Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

x

1+2x

（Ⅰ）求證：f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）若f[x（3x-2）]＜-

1

3

，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)即可；
（Ⅱ）將-

1

3

寫成f（1），再根據(jù)（Ⅰ）即可利用函數(shù)的單調(diào)性求得實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解答： （Ⅰ）證明：由已知得f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）
∵函數(shù)f（x）=lnx-

x

1+2x

，
∴f′(x)=

1

x

-

1+2x-2x

(1+2x)2

=

4x2+3x+1

x(1+2x)2

．
∵x＞0，
∴4x²+3x+1＞0，x（1+2x）²＞0．
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0．
即f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）=lnx-

x

1+2x

，
∴f（1）=ln1

1

1+2×1

=-

1

3

．
由f[x（3x-2）]＜-

1

3

可得
f[x（3x-2）]＜f（1）．
由（Ⅰ）得

x(3x-2)＞0 x(3x-2)＜1

，
解得-

1

3

＜x＜0或

2

3

＜x＜1．
故實(shí)數(shù)x的取值范圍為(-

1

3

，0)∪(

2

3

，1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性以及求滿足條件的自變量的區(qū)間．