Question

方程

x|x|

16

+

y|y|

9

=-1 的曲線即為函數(shù)y=f（x）的圖象，對于函數(shù)y=f（x），有如下結(jié)論：
①f（x）在R上單調(diào)遞減；
②函數(shù)F（x）=4f（x）+3x不存在零點；
③函數(shù)y=f（|x|）的最大值3
④若函數(shù)g（x）和f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，則函數(shù)y=g（x）由方程

x|x|

16

+

y|y|

9

=1確定．
其中所有正確的命題序號是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象

專題：計算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：化簡方程

x|x|

16

+

y|y|

9

=-1，從而作出函數(shù)y=f（x）的圖象，
①由函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性；
②函數(shù)的零點可轉(zhuǎn)化為方程的解，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點，從而判斷零點；
③由函數(shù)的圖象的變換可求其最值；
④由函數(shù)的圖象的對稱性可得方程為

x|x|

16

+

y|y|

9

=1，從而判斷．

解答： 解：①當(dāng)x≥0且y≥0時，原方程化為

x2

16

+

y2

9

=-1，不成立；
當(dāng)x＜0且y＜0時，原方程化為

x2

16

+

y2

9

=1；
當(dāng)x≥0且y＜0時，原方程化為

x2

16

-

y2

9

=-1；
當(dāng)x＜0且y≥0時，原方程化為-

x2

16

+

y2

9

=-1；
作出函數(shù)的圖象如下，

故①正確；
②由F（x）=4f（x）+3x=0得，f（x）=-

3

4

x；
由上圖知方程無解，故②正確；
③根據(jù)①所作的圖象可知，函數(shù)y=f（|x|）的最大值為-3，故錯誤；
④若函數(shù)g（x）和f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，則用-x，-y分別代替x，y；
可得g（x）=-f（-x）；則函數(shù)y=g（x）的圖象是方程

x|x|

16

+

y|y|

9

=1確定的曲線，故正確．
故答案為：①②④．

點評：本題考查了圓錐曲線的方程與其圖象，同時考查了函數(shù)的圖象及其變換，還考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，屬于難題．