Question

設實數x＞0，n∈N^*，e是自然對數的底數．
（1）證明：（1-x）e^x＜1＜e^x-x；
（2）若數列{a_n}滿足：a_n＞0且ean+1=ean-1，證明：{a_n}在定義域內是遞減數列．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,數列的應用

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）令f（x）=1-（1-x）e^x，g（x）=e^x-x-1，對二函數分別利用導數法判斷其單調性，即可證得：（1-x）e^x＜1＜e^x-x；
（2）利用等差數列的概念可知數列{ean}是公差為-1的等差數列，可求得其通項公式，利用復合函數的單調性即可證得{a_n}在定義域內是遞減數列．

解答： 證明：（1）令f（x）=1-（1-x）e^x，g（x）=e^x-x-1，
①f（x）=1+（x-1）e^x，
f′（x）=e^x+（x-1）e^x=xe^x，
因為x＞0，所以f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上嚴格單調遞增，
又f（0）=1-1=0，
所以當x＞0時，f（x）＞0，
即（1-x）e^x＜1．
②g′（x）=e^x-1，
因為x＞0時，e^x＞1，所以g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上嚴格單調遞增，
又g（0）=1-1=0，
所以當x＞0時，g（x）＞0，
即1＜e^x-x，
綜上所述，（1-x）e^x＜1＜e^x-x．
（2）因為ean+1=ean-1，所以數列{ean}是公差為-1的等差數列，又a_n＞0，
因為ean=ea1+（n-1）×（-1）=1+ea1-n＞0，
所以a_n=ln（1+ea1-n），由于y=lnx為增函數，y=1+ea1-n為減函數，
由復合函數的單調性得，a_n=ln（1+ea1-n）為定義域上是減函數．

點評：本題考查導數判斷函數的單調性及復合函數單調性的證明，著重考查構造函數的思想與推理證明能力，考查轉化思想．