【題目】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),動點到定點的距離與到定直線的距離之比為
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)若軌跡上的動點到定點的距離的最小值為1,求的值;
(3)設(shè)點、是軌跡上兩個動點,直線、與軌跡的另一交點分別為、,且直線、的斜率之積等于,問四邊形的面積是否為定值?請說明理由
【答案】(1);(2);(3)是定值,面積
【解析】
(1)由兩點間距離公式和點到直線距離公式即可求出動點的軌跡的方程;
(2)利用兩點間距離公式能求出.討論在和,取得最小值為1時,其對應(yīng)的是否在,即可得出答案.
(3)設(shè), ,由,得,由點,在橢圓上,得,由此利用點到直線的距離公式、橢圓的對稱性,結(jié)合已知條件能即可求出出四邊形面積的定值.
(1)設(shè)
∵動點到定點的距離與到定直線的距離之比為
∴
化簡得:
動點的軌跡的方程為:
(2)設(shè)
由兩點間距離公式得:
①當(dāng),即時,
時,取得最小值 解得: 即
此時 ,故舍去.
②當(dāng) 即:時
時, 取得最小值 解得:,(舍去)
綜上所述: .
(3)設(shè),
整理可得:
點,在橢圓上
,
化簡可得:
直線的直線方程為
點到直線的距離
的面積:
四邊形的面積為定值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,傾斜角為的直線經(jīng)過坐標(biāo)原點,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以點為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求與的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)與的交點為、,與的交點為、,且,求值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足,且是的等差中項.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)若,對任意正數(shù)數(shù), 恒成立,試求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)滿足:對于任意正數(shù),都有,且,則稱函數(shù)為“L函數(shù)”.
(1)試判斷函數(shù)與是否是“L函數(shù)”;
(2)若函數(shù)為“L函數(shù)”,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若函數(shù)為“L函數(shù)”,且,求證:對任意,都有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市環(huán)保部門對市中心每天的環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后,發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)與時刻(時)的關(guān)系為,,其中是與氣象有關(guān)的參數(shù),且.若用每天的最大值為當(dāng)天的綜合污染指數(shù),并記作.
(1)令,,求的取值范圍;
(2)求的表達(dá)式,并規(guī)定當(dāng)時為綜合污染指數(shù)不超標(biāo),求當(dāng)在什么范圍內(nèi)時,該市市中心的綜合污染指數(shù)不超標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地擬建造一座體育館,其設(shè)計方案側(cè)面的外輪廓線如圖所示:曲線是以點為圓心的圓的一部分,其中,是圓的切線,且,曲線是拋物線的一部分,,且恰好等于圓的半徑.
(1)若米,米,求與的值;
(2)若體育館側(cè)面的最大寬度不超過75米,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在長方體中,,點E是棱上的一個動點,若平面交棱于點,給出下列命題:
①四棱錐的體積恒為定值;
②存在點,使得平面;
③對于棱上任意一點,在棱上均有相應(yīng)的點,使得平面;
④存在唯一的點,使得截面四邊形的周長取得最小值.
其中真命題的是____________.(填寫所有正確答案的序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的定義域恰是不等式的解集,其值域為,函數(shù)的定義域為,值域為.
(1)求定義域和值域;
(2)試用單調(diào)性的定義法解決問題:若存在實數(shù),使得函數(shù)在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍并用表示;
(3)是否存在實數(shù),使成立?若存在,求實數(shù)的取值范圍,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點,滿足條件:①點,都在函數(shù)的圖像上;②點,關(guān)于原點對稱.則稱是函數(shù)的一個“伙伴點組”(點組與看作同一個“伙伴點組”).已知函數(shù)有兩個“伙伴點組”,則實數(shù)的取值范圍是__________.
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