Question

【題目】如圖所示，在長方體中，，點(diǎn)E是棱上的一個動點(diǎn)，若平面交棱于點(diǎn)，給出下列命題：

①四棱錐的體積恒為定值；

②存在點(diǎn)，使得平面；

③對于棱上任意一點(diǎn)，在棱上均有相應(yīng)的點(diǎn)，使得平面；

④存在唯一的點(diǎn)，使得截面四邊形的周長取得最小值.

其中真命題的是____________．（填寫所有正確答案的序號）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

對①,將四棱錐分成兩部分與分析即可

對②,根據(jù)線面垂直的判定,注意用到再利用線面垂直與線線垂直的判定即可.

對③,舉出反例即可.

對④,四邊形的周長,展開長方體分析最值即可.

對①,,又三棱錐底面

不變,且因?yàn)?/span>∥底面,故到底面的距離即上的高長度不變.故三棱錐體積一定,即四棱錐的體積恒為定值,①正確.

對②,因?yàn)?/span>,且長方體,故四邊形為正方形,

故.要平面則只需,又,故只需面.

又平面,故只需即可.因?yàn)?/span>,故當(dāng) 時存在點(diǎn),使得,即平面.故②正確.

對③,當(dāng)在時總有與平面相交,故③錯誤.

對④,四邊形的周長,分析即可.

將矩形沿著展開使得在延長線上時,此時的位置設(shè)為,則線段與的交點(diǎn)即為使得截面四邊形的周長取得最小值時的唯一點(diǎn).故④正確.

故答案為：①②④