【題目】在平面直角坐標系中,已知橢圓過點,且離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線的斜率為,直線與橢圓交于、兩點,求的面積的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)由橢圓的離心率可得出,將點的坐標代入橢圓的方程,可得出和的值,由此可得出橢圓的標準方程;
(2)設直線的方程為,設點、,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,由求出的范圍,列出韋達定理,利用弦長公式計算出,利用點到直線的距離公式求出的高,然后利用三角形的面積公式結(jié)合基本不等式可求出該三角形面積的最大值.
(1)設橢圓的焦距為,則,.
則橢圓的方程可化為,
將點的坐標代入橢圓的方程得,可得,,
因此,橢圓的方程為;
(2)設直線的方程為,設點、,
將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,
消去,整理得,,得.
由韋達定理得,.
則,
直線的一般方程為,點到直線的距離為,
所以,,
當且僅當時,即當時,等號成立,
因此,面積的最大值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形中,,,對角線與交于點,點,分別在,上,滿足,交于點.將沿折到的位置, .
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)求與平面所成的角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品作為樣本,并稱出它們的重量(單位:克),重量值落在內(nèi)的產(chǎn)品為合格品,否則為不合格品.
注:表1是甲流水線樣本的頻數(shù)分布表,圖1是乙流水線樣本的頻率分布直方圖.
產(chǎn)品重量(克) | 頻數(shù) |
6 | |
8 | |
14 | |
8 | |
4 |
(1)根據(jù)上面表1中的數(shù)據(jù)在圖2中作出甲流水線樣本的頻率分布直方圖;
(2)若以頻率作為概率,試估計從兩條流水線上分別任取1件產(chǎn)品,該產(chǎn)品恰好是合格品的概率分別是多少;
(3)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表,并回答有多大的把握認為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關(guān).
甲流水線 | 乙流水線 | 合計 | |
合格 | |||
不合格 | |||
合計 |
參考公式:,其中
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】目前,新冠病毒引發(fā)的肺炎疫情在全球肆虐,為了解新冠肺炎傳播途徑,采取有效防控措施,某醫(yī)院組織專家統(tǒng)計了該地區(qū)500名患者新冠病毒潛伏期的相關(guān)信息,數(shù)據(jù)經(jīng)過匯總整理得到如圖所示的頻率分布直方圖(用頻率作為概率).潛伏期低于平均數(shù)的患者,稱為“短潛伏者”,潛伏期不低于平均數(shù)的患者,稱為“長潛伏者”.
(1)求這500名患者潛伏期的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表),并計算出這500名患者中“長潛伏者”的人數(shù);
(2)為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系,以潛伏期是否高于平均數(shù)為標準進行分層抽樣,從上述500名患者中抽取300人,得到如下列聯(lián)表,請將列聯(lián)表補充完整,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有97.5%的把握認為潛伏期長短與患者年齡有關(guān);
短潛伏者 | 長潛伏者 | 合計 | |
60歲及以上 | 90 | ||
60歲以下 | 140 | ||
合計 | 300 |
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了研究經(jīng)常使用手機是否對數(shù)學學習成績有影響,某校高二數(shù)學研究性學習小組進行了調(diào)查,隨機抽取高二年級50名學生的一次數(shù)學單元測試成績,并制成下面的2×2列聯(lián)表:
及格 | 不及格 | 合計 | |
很少使用手機 | 20 | 5 | 25 |
經(jīng)常使用手機 | 10 | 15 | 25 |
合計 | 30 | 20 | 50 |
則有( )的把握認為經(jīng)常使用手機對數(shù)學學習成績有影響.
參考公式:,其中
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
A.97.5%B.99%C.99.5%D.99.9%
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義一個“希望結(jié)合”()簡稱如下:為一個非空集合,它滿足條件“若,則”。試問:在集合中,一共有多少個“希望子集合”?請說明理由。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知曲線上任意一點到直線的距離是它到點距離的2倍;曲線是以原點為頂點,為焦點的拋物線.
(1)求的方程;
(2)設過點的直線與曲線相交于兩點,分別以為切點引曲線的兩條切線,設相交于點,連接的直線交曲線于兩點,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖為我國數(shù)學家趙爽(約3世紀初)在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖,現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色,規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色、相鄰區(qū)域顏色不同,則區(qū)域不同涂色的方法種數(shù)為( )
A.360B.400C.420D.480
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