【題目】如圖,在三棱柱中,四邊形是菱形,四邊形是正方形,,,,點(diǎn)為的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】
(1)(1)連接AF,與CD交于點(diǎn)H,連接GH,易得BF∥GH,從而得證;
(2)以D為原點(diǎn),直線DG,DE,DF分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,通過求面BCD的一個(gè)法向量為和面BEF的一個(gè)法向量為,利用=即可得解.
(1)連接AF,與CD交于點(diǎn)H,連接GH,
則GH為△ABF的中位線,
所以BF∥GH,
又BF平面CDG,GH平面CDG,
所以BF∥平面CDG.
(2)由題意可知,直線DG,DE,DF兩兩垂直,
以D為原點(diǎn),直線DG,DE,DF分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,
,,,.
設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量為=,則有,得,
取,得,所以=,
設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為=,則有,得,
取,得,所以=,
設(shè)平面BCD與平面BEF所成銳二面角為
則=,
所以平面BCD與平面BEF所成銳二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知 的內(nèi)切圓切邊于點(diǎn), 而是邊上的任意內(nèi)點(diǎn).設(shè)和的內(nèi)切圓圓心分別是和.
(1)求證:∠I1DI2 =90°(即、、、四點(diǎn)共圓);
(2)設(shè)、、、四點(diǎn)所在的圓周的半徑為, 而的內(nèi)切圓半徑為,試求的取值范圍(取遍各種形狀的三角形,點(diǎn)取遍邊上的每一個(gè)內(nèi)點(diǎn)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著,其中的“更相減損術(shù)”可以用來求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),原文是:可半者半之,不可半者,副置分母、子之?dāng)?shù),以少減多,更相減損,求其等也,以等數(shù)約之. 翻譯為現(xiàn)代的語言如下:如果需要對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行約分,那么可以折半的話,就折半(也就是用2來約分).如果不可以折半的話,那么就比較分母和分子的大小,用大數(shù)減去小數(shù),互相減來減去,一直到減數(shù)與差相等為止,用這個(gè)相等的數(shù)字來約分,現(xiàn)給出“更相減損術(shù)”的程序框圖如圖所示,如果輸入的,,則輸出的( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)討論的單調(diào)性;
(2)設(shè)函數(shù),若有兩個(gè)零點(diǎn).
(i)求的取值范圍;
(ii)證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為,對(duì)任意,點(diǎn)都在函數(shù)圖像上.
(1)求、、,并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)的猜想;
(3)若數(shù)列滿足:,,且對(duì)任意的,都有、、成公比為的等比數(shù)列,、、成等差數(shù)列,設(shè),求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在長方體中,,,點(diǎn),,分別是線段,,的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)在線段上有一點(diǎn),若二面角的余弦值為,求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分12分)某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名,25周歲以下工人200名.為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān).現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名工人,先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù),然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組,再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組:,,,,分別加以統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人,求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的頻率.
(Ⅱ)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”,請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”?
附表:
P() | 0.100 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 6.635 | 10.828 |
,(其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列說法:
①如果一條線段的中點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么它的兩個(gè)端點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi);
②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;
③兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形;
④若一個(gè)四邊形有三條邊在同一個(gè)平面內(nèi),則第四條邊也在這個(gè)平面內(nèi);
⑤點(diǎn)在平面外,點(diǎn)和平面內(nèi)的任意一條直線都不共面.
其中所有正確說法的序號(hào)是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校數(shù)學(xué)學(xué)院為了對(duì)2018年錄取的大一新生有針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué).從大一新生中隨機(jī)抽取40名,對(duì)他們?cè)?018年高考的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行調(diào)查,統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)40名新生的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)分布在內(nèi).當(dāng)時(shí),其頻率.
(1)求的值;
(2)請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中畫出這40名新生高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖,并估計(jì)這40名新生的高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).
(3)若高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)不低于120分的為優(yōu)秀,低于120分的為不優(yōu)秀,則按高考成績優(yōu)秀與否從這40名新生中用分層抽樣的方法抽取4名學(xué)生,再從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名,求這2名學(xué)生的高考成績均為優(yōu)秀的概率.
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