【題目】已知 的內(nèi)切圓切邊于點(diǎn), 而是邊上的任意內(nèi)點(diǎn).設(shè)的內(nèi)切圓圓心分別是.

(1)求證:∠I1DI2 =90°(即、、、四點(diǎn)共圓);

(2)設(shè)、、四點(diǎn)所在的圓周的半徑為, 而的內(nèi)切圓半徑為,試求的取值范圍(取遍各種形狀的三角形,點(diǎn)取遍邊上的每一個(gè)內(nèi)點(diǎn)).

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

(1)如圖,聯(lián)結(jié) 、.由平分平 分,易 知=90 °.

故只須證明、 、四點(diǎn)共圓, 而這只須證明.

設(shè)于點(diǎn),則.只須證明,

亦只須證明,即. ①

設(shè)于點(diǎn),聯(lián)結(jié),則.

由于,故.

從而,.

所以, .

于是,,即. ②

由式①、②可知, 只須證明. ③

欲證式③, 只須證明. ④

由切線長相等得

即式④、③確實(shí)成立.

再由式 ②可推出式 ①成立, 從而,,即、 、四點(diǎn)共圓.

因此,.

(2)由(1)知、 、四點(diǎn)共圓,,所以,.

顯然,、、三點(diǎn)共線,、、也三點(diǎn)共線,且

.

的中點(diǎn),則、、四點(diǎn)所在圓周的圓心,為該圓直徑.由于 ,所以,點(diǎn)必在的內(nèi)部.從而,必不是直徑.

于是,,即.故.

若固定不變,且,當(dāng),且的中點(diǎn),則,即.

若固定不變,當(dāng)上的定點(diǎn),,

(定值),這時(shí),.

再由幾何圖形變化的連續(xù)性可知,可取遍開區(qū)間內(nèi)的所有值.

綜上可知, 的取值范圍是.

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組號(hào)

分組

回答正確

的人數(shù)

回答正確的人數(shù)

占本組的頻率

第1組

[15,25)

0.5

第2組

[25,35)

18

第3組

[35,45)

0.9

第4組

[45,55)

9

0.36

第5組

[55,65]

3

(1)分別求出的值;

(2)從第2,3,4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人,求第2,3,4組每組各抽取多少人?

(3)在(2)抽取的6人中隨機(jī)抽取2人,求所抽取的人中恰好沒有第3組人的概率.

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A.B.C.D.

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