【題目】如圖為橢圓C:的左、右焦點,D,E是橢圓的兩個頂點,橢圓的離心率的面積為.若點在橢圓C上,則點稱為點M的一個橢圓,直線與橢圓交于A,B兩點,A,B兩點的橢圓分別為P,Q.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)問是否存在過左焦點的直線,使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點?若存在,求出該直線的方程;若不存在,請說明理由.

【答案】(1);(2)直線方程為.

【解析】

試題分析:本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、韋達定理、向量垂直的充要條件等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計算能力.第一問,利用橢圓的離心率和三角形面積公式列出表達式,解方程組,得到基本量a和b的值,從而得到橢圓的方程;第二問,直線l過左焦點,所以討論直線的斜率是否存在,當(dāng)斜率不存在時,可以直接寫出直線方程,令直線與橢圓聯(lián)立,得到交點坐標(biāo),驗證以PQ為直徑的圓不過坐標(biāo)原點,當(dāng)斜率存在時,直線與橢圓聯(lián)立,消參,利用韋達定理,證明,解出k的值.

(1)由題意,,即,即 2

得:

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: 5

(2)當(dāng)直線的斜率不存在時,直線的方程為

聯(lián)立,解得

不妨令,,所以對應(yīng)的“橢點”坐標(biāo),

所以此時以為直徑的圓不過坐標(biāo)原點. 7

當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為

消去得,

設(shè),則這兩點的“橢點”坐標(biāo)分別為

由根與系數(shù)關(guān)系得: 9

若使得以為直徑的圓過坐標(biāo)原點,則

,即

代入,解得:

所以直線方程為 12

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