Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-1，(x≤0) f(x-2)+1，(x＞0)

，把函數(shù)g（x）=f（x）-

1

2

x的偶數(shù)零點(diǎn)按從小到大的順序排列成一個(gè)數(shù)列，該數(shù)列的前n項(xiàng)的和S_n，則S₁₀=（　�。�

• A、45
• B、55
• C、90
• D、110

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由分段函數(shù)解析式得到函數(shù)f（x）在x＞0時(shí)的分段解析式，首先求得函數(shù)g（x）=f（x）-

1

2

x在（-2，0]上的零點(diǎn)，然后根據(jù)函數(shù)的圖象平移得到函數(shù)g（x）=f（x）-

1

2

x在（0，2]，（2，4]，（4，6]，…，（2n，2n+2]上的零點(diǎn)，得到偶數(shù)零點(diǎn)按從小到大的順序排列的數(shù)列，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和得答案．

解答： 解：當(dāng)0＜x≤2時(shí)，有-2＜x-2≤0，則f（x）=f（x-2）+1=2^x-2，
當(dāng)2＜x≤4時(shí)，有0＜x-2≤2，則f（x）=f（x-2）+1=2^x-4+1，
當(dāng)4＜x≤6時(shí)，有2＜x-2≤4，則f（x）=f（x-2）+1=2^x-6+2，
當(dāng)6＜x≤8時(shí)，有4＜x-1≤6，則f（x）=f（x-2）+1=2^x-8+3，
以此類推，當(dāng)2n＜x≤2n+2（其中n∈N）時(shí)，則f（x）=f（x-2）+1=2^x-2n-2+n，
∴函數(shù)f（x）=2^x的圖象與直線y=

1

2

x+1的交點(diǎn)為：（0，1）和（-1，

1

2

），
由于指數(shù)函數(shù)f（x）=2^x為增函數(shù)且圖象下凸，故它們只有這兩個(gè)交點(diǎn)．
將函數(shù)f（x）=2^x和y=

1

2

x+1的圖象同時(shí)向下平移一個(gè)單位，即得到函數(shù)f（x）=2^x-1和y=

1

2

x的圖象，
取x≤0的部分，可見它們有兩個(gè)交點(diǎn)（0，0），（-1，-

1

2

）．
即當(dāng)x≤0時(shí)，方程f（x）-

1

2

x=0有兩個(gè)根x=-1，x=0；
當(dāng)0＜x≤2時(shí)，由函數(shù)圖象平移可得g（x）=f（x）-

1

2

x的零點(diǎn)為1，2；
以此類推，函數(shù)y=f（x）與y=

1

2

x在（2，4]，（4，6]，…，（2n，2n+2]上的零點(diǎn)分別為：
3，4；5，6；…；2n+1，2n+2；
綜上所述函數(shù)g（x）=f（x）-

1

2

x的偶數(shù)零點(diǎn)按從小到大的順序排列所得數(shù)列為：
0，2，4，…，
其通項(xiàng)公式為：a_n=2（n-1），前10項(xiàng)的和為S₁₀=10×0+

10×9×2

2

=90．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法，考查了等差數(shù)列的和的求法，是中檔題．