【題目】設(shè)函數(shù)fn(x)=﹣1+x+ + +…+ (x∈R,n∈N+),證明:
(1)對每個n∈N+ , 存在唯一的x∈[ ,1],滿足fn(xn)=0;
(2)對于任意p∈N+ , 由(1)中xn構(gòu)成數(shù)列{xn}滿足0<xn﹣xn+p< .
【答案】
(1)證明:對每個n∈N+,當(dāng)x>0時,由函數(shù)fn(x)=﹣1+x+ ),可得
f′(x)=1+ + +… >0,故函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
由于f1(x1)=0,當(dāng)n≥2時,fn(1)= + +…+ >0,即fn(1)>0.
又fn( )=﹣1+ +[ + + +…+ ]≤﹣ +
=﹣ + × =﹣ <0,
根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理,可得存在唯一的xn ,滿足fn(xn)=0
(2)證明:對于任意p∈N+,由(1)中xn構(gòu)成數(shù)列{xn},當(dāng)x>0時,∵fn+1(x)=fn(x)+ >fn(x),
∴fn+1(xn)>fn(xn)=fn+1(xn+1)=0.
由 fn+1(x) 在(0,+∞)上單調(diào)遞增,可得 xn+1<xn,即 xn﹣xn+1>0,故數(shù)列{xn}為減數(shù)列,即對任意的 n、p∈N+,xn﹣x/span>n+p>0.
由于 fn(xn)=﹣1+xn+ + +…+ =0 ①,
fn+p (xn+p)=﹣1+xn+p+ + +…+ +[ + +…+ ]②,
用①減去②并移項,利用 0<xn+p≤1,可得
xn﹣xn+p= + ≤ ≤ < = < .
綜上可得,對于任意p∈N+,由(1)中xn構(gòu)成數(shù)列{xn}滿足0<xn﹣xn+p<
【解析】(1)由題意可得f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).求得fn(1)>0,fn( )<0,再根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理,可得要證的結(jié)論成立.(2)由題意可得fn+1(xn)>fn(xn)=fn+1(xn+1)=0,由 fn+1(x) 在(0,+∞)上單調(diào)遞增,可得 xn+1<xn , 故xn﹣xn+p>0.用 fn(x)的解析式減去fn+p (xn+p)的解析式,變形可得xn﹣xn+p= + ,再進(jìn)行放大,并裂項求和,可得它小于 ,綜上可得要證的結(jié)論成立.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了基本求導(dǎo)法則和數(shù)列的前n項和的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握若兩個函數(shù)可導(dǎo),則它們和、差、積、商必可導(dǎo);若兩個函數(shù)均不可導(dǎo),則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo);數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象如圖所示,則下列說法正確的是( )
A. 函數(shù)的周期為
B. 函數(shù)在上單調(diào)遞增
C. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
D. 把函數(shù)的圖象向右平移個單位,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著支付寶、微信等支付方式的上線,越來越多的商業(yè)場景可以實現(xiàn)手機(jī)支付.有關(guān)部門為了了解各年齡段的人使用手機(jī)支付的情況,隨機(jī)調(diào)查了50次商業(yè)行為,并把調(diào)查結(jié)果制成下表:
年齡(歲) | ||||||
頻數(shù) | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
手機(jī)支付 | 4 | 6 | 10 | 6 | 2 | 0 |
(1)若把年齡在的人稱為中青年,年齡在的人稱為中老年,請根據(jù)上表完成以下列聯(lián)表;并判斷是否可以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下,認(rèn)為使用手機(jī)支付與年齡(中青年、中老年)有關(guān)系?
手機(jī)支付 | 未使用手機(jī)支付 | 總計 | |
中青年 | |||
中老年 | |||
總計 |
(2)若從年齡在的被調(diào)查中隨機(jī)選取2人進(jìn)行調(diào)查,記選中的2人中,使用手機(jī)支付的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考公式:,其中.
獨(dú)立性檢驗臨界值表:
0.15 | 0.10 | 0.005 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=4cosωxsin(ωx+ )(ω>0)的最小正周期為π.
(1)求ω的值;
(2)討論f(x)在區(qū)間[0, ]上的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知六棱錐的底面是正六邊形,平面,.則下列命題中正確的有_____.(填序號)
①PB⊥AD;
②平面PAB⊥平面PAE;
③BC∥平面PAE;
④直線PD與平面ABC所成的角為45°.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品所得利潤分別為和(萬元),它們與投入資金(萬元)的關(guān)系有如下公式:,,今將200萬元資金投入生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,并要求對甲、乙兩種產(chǎn)品的投入資金都不低于25萬元.
(Ⅰ)設(shè)對乙種產(chǎn)品投入資金(萬元),求總利潤(萬元)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及其定義域;
(Ⅱ)如何分配投入資金,才能使總利潤最大,并求出最大總利潤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2016年9月15日,天宮二號實驗室發(fā)射成功.借天宮二號東風(fēng),某廠推出品牌為“玉兔”的新產(chǎn)品.生產(chǎn)“玉兔”的固定成本為20000元,每生產(chǎn)一件“玉兔”需要增加投入100元.根據(jù)初步測算,總收益(單位:元)滿足分段函數(shù),其中,是“玉兔”的月產(chǎn)量(單位:件),總收益=總成本+利潤.
(I)試將利潤元表示為月產(chǎn)量的函數(shù);
(II)當(dāng)月產(chǎn)量為多少件時利潤最大?最大利潤是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O,長軸在x軸上,上頂點(diǎn)為A,左右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 線段OF1 , OF2的中點(diǎn)分別為B1 , B2 , 且△AB1B2是面積為4的直角三角形.
(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過B1做直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),使PB2⊥QB2 , 求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有4個人去參加娛樂活動,該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性,約定:每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲,擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲,擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲.
(1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率;
(2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率;
(3)用X,Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù),記ξ=|X﹣Y|,求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ.
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