Question

【題目】已知函數(shù)，．

求證：函數(shù)是上的增函數(shù)．

若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】證明見解析；.

【解析】

根據(jù)，求導(dǎo)得，令，則，因為，得出，所以在上是增函數(shù)，所以，則，即可求證結(jié)果；

由得，所以在上是增函數(shù)，且，，，分步討論的取值，①時，，由，得，令，求出，進而得出；

②當(dāng)時，有，由，得，則，令，算出，進而得出；③當(dāng)時，不等式顯然成立，綜合得出實數(shù)的取值范圍.

解：，

，

令，則，

因為，所以，

所以，所以，

所以在上是增函數(shù)，所以，則，

所以函數(shù)是上的增函數(shù)．

由得，所以在上是增函數(shù)，

且，，，

①時，，由，

得，令，

則，

因為，，所以，

所以．

②當(dāng)時，有，由，得，

，令，

則，

因為，所以，

則，，

則，所以單調(diào)遞減，所以，

所以，．

③當(dāng)時，不等式顯然成立．

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．