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已知函數,其中k∈R且k≠0.
(1)求函數f(x)的單調區(qū)間;
(2)當k=l時,若存在x>0,使1nf(x)>ax成立,求實數a的取值范圍.
【答案】分析:(1)求導函數,對k討論,利用導數的正負,可得函數的單調區(qū)間;
(2)分離參數,構造新函數,g(x)=(x>0),存在x>0,使1nf(x)>ax成立,等價于a<g(x)max,由此可求實數a的取值范圍.
解答:解:(1)函數的定義域為R,求導函數可得
當k<0時,令f′(x)>0,可得x<0或x>2;令f′(x)<0,可得0<x<2
∴函數f(x)的單調增區(qū)間為(-∞,0),(2,+∞),單調減區(qū)間為(0,2);
當k<0時,令f′(x)<0,可得x<0或x>2;令f′(x)>0,可得0<x<2
∴函數f(x)的單調增區(qū)間為(0,2),單調減區(qū)間為(-∞,0),(2,+∞);
(2)當k=l時,,x>0,1nf(x)>ax成立,等價于a<
設g(x)=(x>0)
存在x>0,使1nf(x)>ax成立,等價于a<g(x)max
,當0<x<e時,g′(x)>0;當x>e時,g′(x)<0
∴g(x)在(0,e)上單調遞增,在(e,+∞)上單調遞減
∴g(x)max=g(e)=
∴a<
點評:本題考查導數知識的運用,考查函數的單調性與最值,考查存在性問題,考查分類討論的數學思想,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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(1)求函數f(x)的單調區(qū)間;
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已知函數,其中k∈R且k≠0.
(1)求函數f(x)的單調區(qū)間;
(2)當k=l時,若存在x>0,使1nf(x)>ax成立,求實數a的取值范圍.

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