已知
a
=(sinx,-cosx),
b
=(
3
cosx,cosx)
,函數(shù)f(x)=
a
b
-
1
2
,x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期;
(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別a,b,c且c=3,f(C)=0,若sin(A+C)=2sinA,求a,b的值.
分析:(1)利用向量的數(shù)量積公式,結(jié)合二倍角公式,輔助角公式,化簡(jiǎn)函數(shù),即可求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期;
(2)先求C,再根據(jù)sin(A+C)=2sinA,求A,可得三角形為直角三角形,從而可得結(jié)論.
解答:解:(1)∵
a
=(sinx,-cosx),
b
=(
3
cosx,cosx)

f(x)=
a
b
-
1
2
=
3
sinxcosx-cos2x-
1
2
=
3
2
sin2x-
1
2
cos2x-1
=sin(2x-
π
6
)-1
∴sin(2x-
π
6
)=1時(shí),函數(shù)f(x)的最大值為0
函數(shù)的最小正周期為T=
2
=π;
(2)∵f(C)=0,∴sin(2C-
π
6
)-1=0,∴C=
π
3

∵sin(A+C)=2sinA,∴sin(A+
π
3
)=2sinA,∴tanA=
3
3
,∴A=
π
6

∴B=
π
2

∵c=3,
∴a=3tan
π
6
=
3
,b=2
3
點(diǎn)評(píng):本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算,考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn),考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知
a
=(sinx,1)
,
b
=(2cosx,2+cos2x)
,函數(shù)f(x)=
a
b

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值的自變量x的集合.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知
a
=(sinx,cosx)
,
b
=(
3
cosx,cosx)
,設(shè)函數(shù)f(x)=
a
b
(x∈R)
(1)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[-
π
6
12
]
時(shí),求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知
a
=(sinx,-cosx),
b
=(cosx,
3
cosx)
,函數(shù)f(x)=
a
b
+
3
2

(1)求f(x)的最小正周期,并求其圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo);
(2)當(dāng)0≤x≤
π
2
時(shí),求函數(shù)f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•蕪湖二模)已知
a
=(sinx,1)
b
=(cosx,-
1
2
)
,函數(shù)f(x)=
a
•(
a
-
b
)
,那么下列四個(gè)命題中正確命題的序號(hào)是
②③④
②③④

①f(x)是周期函數(shù),其最小正周期為2π.
②當(dāng)x=
π
8
時(shí),f(x)有最小值2-
2
2

③[-
7
8
π,-
3
8
π]是函數(shù)f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間;
④點(diǎn)(-
π
8
,2)是函數(shù)f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知
a
=(sinx,cosx),
b
=(
3
cosx,cosx)
,設(shè)函數(shù)f(x)=
a
b
(x∈R)
(1)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[-
π
6
,
12
]
時(shí),求f(x)的最值并指出此時(shí)相應(yīng)的x的值.

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