【題目】已知拋物線的焦點為，為坐標原點，過點的直線與交于、兩點.

（1）若直線與圓相切，求直線的方程；

（2）若直線與軸的交點為，且，，試探究：是否為定值.若為定值，求出該定值，若不為定值，試說明理由.

【答案】（1）；（2）為定值.

【解析】

（1）對直線的斜率是否存在進行分類討論，由直線與圓相切，得出圓心到直線的距離等于半徑，進而可求得直線的方程；

（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，可知當直線的斜率不存在時不滿足題意，在直線的斜率存在時，設直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用向量的坐標運算得出關于、的表達式，代入韋達定理化簡計算可求得的值.

（1）由已知得.

當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，直線與圓相交，不合乎題意；

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，

由直線與圓相切，得，解得.

綜上所述，直線的方程為；

（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意；

當直線與軸不重合時，設直線的方程為，設、.

若，則直線與軸平行，不合乎題意，所以.

聯(lián)立，消去并整理得，由韋達定理得，

易知，由，得，

則，，同理可得，

所以，

所以為定值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為徹底打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，2020年春，某市政府投入資金幫扶某農戶種植蔬菜大棚脫貧致富，若該農戶計劃種植冬瓜和茄子，總面積不超過15畝，幫扶資金不超過4萬元，冬瓜每畝產(chǎn)量10 000斤，成本2000元，每斤售價0.5元，茄子每畝產(chǎn)量5000斤，成本3000元，每斤售價1.4元，則該農戶種植冬瓜和茄子利潤的最大值為（ ）

A.4萬元B.5.5萬元C.6.5萬元D.10萬元

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某志愿者服務網(wǎng)站在線招募志愿者，當報名人數(shù)超過計劃招募人數(shù)時，將采用隨機抽取的方法招募志愿者，如表記錄了A，B，C，D四個項目最終的招募情況，其中有兩個數(shù)據(jù)模糊，記為a，b.

甲同學報名參加了這四個志愿者服務項目，記ξ為甲同學最終被招募的項目個數(shù)，已知P（ξ=0），P（ξ=4）.

（Ⅰ）求甲同學至多獲得三個項目招募的概率；

（Ⅱ）求a，b的值；

（Ⅲ）假設有十名報了項目A的志愿者（不包含甲）調整到項目D，試判斷Eξ如何變化（結論不要求證明）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的最大值為，其圖像相鄰的兩條對稱軸之間的距離為，且的圖像關于點對稱，則下列結論正確的是（ ）.

A.函數(shù)的圖像關于直線對稱

B.當時，函數(shù)的最小值為

C.若，則的值為

D.要得到函數(shù)的圖像，只需要將的圖像向右平移個單位

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】橢圓（）的離心率是，點在短軸上，且。

（1）球橢圓的方程；

（2）設為坐標原點，過點的動直線與橢圓交于兩點。是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知正四面體P－ABC的棱長均為a，O為正四面體P－ABC的外接球的球心，過點O作平行于底面ABC的平面截正四面體P－ABC，得到三棱錐P－A1B1C1和三棱臺ABC－A1B1C1，那么三棱錐P－A1B1C1的外接球的表面積為________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某雜肉觀賞區(qū)改造建筑用地平面示意圖如圖所示、經(jīng)規(guī)劃調研確定，雜肉觀賞區(qū)改造規(guī)劃建筑用地區(qū)域是半徑為的圓，該圓面的內接四邊形是原雜肉觀賞區(qū)建筑用地，測量可知邊界千米，千米，千米.

（1）請計算原雜肉觀賞區(qū)建筑用地的面積及圓面的半徑的值；

（2）因地理條件的限制，邊界、不能變更，而邊界、可以調整，為了提高雜肉觀賞區(qū)觀賞的時長，請在圓弧上設計一點，使得雜肉觀賞區(qū)改造的新建筑用地的周長最大，并求最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】垃圾分類是對垃圾進行有效處置的一種科學管理方法，為了了解居民對垃圾分類的知曉率和參與率，引導居民積極行動，科學地進行垃圾分類，某小區(qū)隨機抽取年齡在區(qū)間上的50人進行調研，統(tǒng)計出年齡頻數(shù)分布及了解垃圾分類的人數(shù)如下表：

年齡

頻數(shù)

5

10

10

15

5

5

了解

4

5

8

12

2

1

（1）填寫下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為以65歲為分界點居民對了解垃圾分類的有關知識有差異；

年齡低于65歲的人數(shù)

年齡不低于65歲的人數(shù)

合計

了解

不了解

合計

（2）若對年齡在，的被調研人中各隨機選取2人進行深入調研，記選中的4人中不了解垃圾分類的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望

參考公式和數(shù)據(jù)

，其中.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年雙十一落下帷幕，天貓交易額定格在268（單位：十億元）人民幣（下同），再創(chuàng)新高，比去年218（十億元）多了50（十億元）．這些數(shù)字的背后，除了是消費者買買買的表現(xiàn)，更是購物車里中國新消費的奇跡，為了研究歷年銷售額的變化趨勢，一機構統(tǒng)計了2010年到2019年天貓雙十一的銷售額數(shù)據(jù)y（單位：十億元），繪制如表：

年份

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

2019

編號x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

銷售額y

0.9

8.7

22.4

41

65

94

132.5

172.5

218

268

根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制散點圖，如圖所示

（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為銷售額關于的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結果及如表中的數(shù)據(jù)，建立關于的回歸方程，并預測2020年天貓雙十一銷售額；（注：數(shù)據(jù)保留小數(shù)點后一位）

（3）把銷售超過100（十億元）的年份叫“暢銷年”，把銷售額超過200（十億元）的年份叫“狂歡年”，從2010年到2019年這十年的“暢銷年”中任取2個，求至少取到一個“狂歡年”的概率．

參考數(shù)據(jù)：

參考公式：

對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別，．

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