Question

【題目】[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講]
在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為 （θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）．（10分）
（1）若a=﹣1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為 ，求a．

Answer 1

【答案】
（1）

解：曲線C的參數(shù)方程為 （θ為參數(shù)），化為標(biāo)準(zhǔn)方程是： +y2=1；

a=﹣1時(shí)，直線l的參數(shù)方程化為一般方程是：x+4y﹣3=0；

聯(lián)立方程 ，

解得 或 ，

所以橢圓C和直線l的交點(diǎn)為（3，0）和（﹣ ， ）．

（2）

l的參數(shù)方程 （t為參數(shù)）化為一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0，

橢圓C上的任一點(diǎn)P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），

所以點(diǎn)P到直線l的距離d為：

d= = ，φ滿足tanφ= ，

又d的最大值dmax= ，

所以|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|的最大值為17，

得：5﹣a﹣4=17或﹣5﹣a﹣4=﹣17，

即a=﹣16或a=8．

【解析】（1.）將曲線C的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，直線l的參數(shù)方程化為一般方程，聯(lián)立兩方程可以求得交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2.）曲線C上的點(diǎn)可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），運(yùn)用點(diǎn)到直線距離公式可以表示出P到直線l的距離，再結(jié)合距離最大值為 進(jìn)行分析，可以求出a的值．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用三角函數(shù)的最值，掌握函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，即可以解答此題．