Question

函數(shù)f（x）=sinωx+

3

cosωx（x∈R），又f（α）=-2，f（β）=0，且|α-β|的最小值等于π，則正數(shù)ω的值為

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：首先，化簡函數(shù)解析式，然后，根據(jù)f（α）=-2，f（β）=0，得到α，β之間的關系，然后，利用|α-β|的最小值等于π，確定正數(shù)ω的值．

解答： 解：∵f（x）=sinωx+

3

cosωx（x∈R），
∴f（x）=2sin（ωx+

π

3

），
∵f（α）=-2，
∴f（α）=2sin（ωα+

π

3

）=-2，
∴ωα+

π

3

=-

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴α=-

5π

6ω

+

2kπ

ω

，
∵f（β）=0，
∴f（β）=2sin（ωβ+

π

3

）=0，
∴ωβ+

π

3

=nπ，n∈Z，
∴β=-

π

3ω

+

nπ

ω

，
又∵|α-β|=|-

5π

6ω

+

2kπ

ω

+

π

3ω

-

nπ

ω

|，
∴|α-β|min=

π

2ω

=π，
∴ω=

1

2

故答案為：

1

2

．

點評：本題重點考查了二倍角公式、三角恒等變換公式、三角函數(shù)的圖象與性質等知識，考查運算求解能力，為中檔題．