已知函數(shù)為常數(shù),為自然對數(shù)的底)

(1)當時,求的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)上無零點,求的最小值;

(3)若對任意的,在上存在兩個不同的使得成立,求的取值范圍.

 

(1)的減區(qū)間為,增區(qū)間為;

(2)的最小值為;

(3)

【解析】

試題分析:(1)把代入到中求出,令求出的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間,令,求出的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間;(2)時不可能恒成立,所以要使得函數(shù)在上無零點,只需要對時,恒成立,列出不等式解出大于一個函數(shù),利用導數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的增減性得到這個函數(shù)的最大值即可得到的最小值;(3)求出,根據(jù)導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可求出的值域,而當時不合題意;當時,求出的值,根據(jù)列出關于的不等式得到①,并根據(jù)此時的的值討論導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)單調(diào)區(qū)間得到②和③,令②中不等式的坐標為一個函數(shù),求出此函數(shù)的導函數(shù),討論導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的增減性得到此函數(shù)的最大值,即可解出②恒成立和解出③得到④,聯(lián)立①和④即可解出滿足題意的取值范圍.

試題解析:(1)時,

;

的減區(qū)間為,增區(qū)間為

(2)因為上恒成立不可能,

故要使上無零點,只要對任意的,恒成立

時,

再令

于是在為減函數(shù)

上恒成立

上為增函數(shù)

上恒成立

故要使恒成立,只要

若函數(shù)上無零點,的最小值為

(3)

時,,為增函數(shù);

時,,為減函數(shù).

函數(shù)上的值域為

時,不合題意;

時,

此時,當變化時,,的變化情況如下

0

+

最小值

 

時,,

任意定的,在區(qū)間上存在兩個不同的

使得成立,

當且僅當滿足下列條件

時, 函數(shù)為增函數(shù)

時, 函數(shù)為減函數(shù)

所以在任取時有

即②式對恒成立

由③解得

由①④ 當時,

對任意,在上存在兩個不同的使成立.

考點:利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導數(shù)求閉區(qū)間上的最值.

 

練習冊系列答案
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