若正數(shù)項數(shù)列的前項和為，首項，點在曲線上.
（1）求；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）設(shè),表示數(shù)列的前項和,若恒成立，求及實數(shù)的取值范圍.

（1），.；（2）；（3），.

解析試題分析：（1）分別取和，可求；（2）將點P代入曲線方程，化簡，可得：，從而數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，可求得；（3）用裂項相消法可求解.
試題解析：（1）因為點在曲線上，所以.
分別取和，得到，
由解得，.
（2）由得.
所以數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列
所以，  即
由公式，得
所以
（3）因為，所以，



顯然是關(guān)于的增函數(shù)， 所以有最小值
由于恒成立，所以，
于是的取值范圍為.
考點：（1）數(shù)列前n項和與通項公式之間的關(guān)系；（2）等差數(shù)列的證明，等差數(shù)列的通項公式；（3）裂項相消法.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

若數(shù)列滿足,則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列中，，點在函數(shù)的圖象上，其中為正整數(shù)．
（Ⅰ）證明數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中“平方遞推數(shù)列”的前項積為，即，求；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記，求數(shù)列的前項和，并求使的的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在數(shù)列中，（）．
（1）求的值；
（2）是否存在常數(shù)，使得數(shù)列是一個等差數(shù)列？若存在，求的值及的通項公式；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的前項和為，，是與的等差中項（）.
（Ⅰ）證明數(shù)列為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅲ）是否存在正整數(shù)，使不等式（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列,.若點在函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖像上.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè),是否存在最小的正數(shù),使得對任意都有成立？請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項和Sn滿足且
（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式：
（Ⅱ）設(shè)Tn為數(shù)列{Sn}的前n項和，求Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

數(shù)列滿足，且.
(1) 求數(shù)列的通項公式；
(2) 若，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列中，，，若數(shù)列滿足.
（Ⅰ）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并寫出的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式及數(shù)列中的最大項與最小項.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點在函數(shù)圖象上，過點的切線的方向向量為（＞0）.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式，并將化簡;
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn，若≤Sn對任意正整數(shù)n均成立，求實數(shù)的范圍.

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