如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1，AB=2，點E在棱AB上．
（1）證明：D1E⊥A1D；
（2）當(dāng)E點為線段AB的中點時，求異面直線D1E與AC所成角的余弦值；
（3）試問E點在何處時，平面D1EC與平面AA1D1D所成二面角的平面角的余弦值為
6
6
．
以D為坐標原點，直線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
設(shè)AE=x，則A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A=（1，0，0），C（0，2，0）．…（2分）
（1）因為
DA1
=（1，0，1），
D1E
=（1，x，-1）
∴
DA1
•
D1E
=1+0-1=0，所以D1E⊥A1D；
（2）因為E為AB中點，則E（1，1，0），
從而
D1E
=（1，1，-1），
AC
=（-1，2，0），
設(shè)AC與D1E所成的角為θ
則 cosθ=
|
AC
•
D1E
|
|
AC
||
D1E
|
=
|-1+2+0|
5
3
=
15
15
…（9分）
（3）設(shè)平面D1EC的法向量為
n
=（a，b，c），
∵
CE
=（1，x-2，0），
D1C
=（0，2，-1），
DD1
=（0，0，1）
由
n
•
D1C
=0
n
•
CE
=0
，有
2b-c=0
a+b(x-2)=0
，
令b=1，從而c=2，a=2-x
∴
n
=（2-x，1，2），…..（12分）
由題意，cos θ=
n
•
AB
|
n
|•|
AB
|
=
2
2
(x-2)2+5
=
6
6

∴x=3（不合題意，舍去），或x=1．
∴當(dāng)AE=1，即E為線段AB的中點時，平面D1EC與平面AA1D1D所成二面角的平面角的余弦值為
6
6
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知二面角α-l-β的大小為120°，點B，C在棱l上，A∈α，D∈β，AB⊥l，CD⊥l，AB=2，BC=1，CD=3，則AD的長為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知正三棱柱ABC-A1B1C1的每條棱長均為a，M為棱A1C1上的動點．
（1）當(dāng)M在何處時，BC1∥平面MB1A，并證明之；
（2）在（1）下，求平面MB1A與平面ABC所成的二面角的大小；
（3）求B-AB1M體積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

正四棱錐的底面積為Q，側(cè)面積為P，側(cè)面與底面所成的二面角為α，則cosα=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與平面α、β所成的角分別為
π
4
和
π
6
，過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，若AB=12，求A′B′的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，點M、N分別為BC、PA的中點，且PA=AB=2．
（1）證明：BC⊥AMN；
（2）在線段PD上是否存在一點E，使得MN∥面ACE？若存在，求出PE的長，若不存在，說明理由．
（3）求二面角A-PD-C的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

A、B是直二面角α-l-β的棱l上的兩點，分別在α，β內(nèi)作垂直于棱l的線段AC，BD，已知AB=AC=BD=1，那么CD的長為（　　）
A．1B．2C．
2
D．
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點O是BD中點．
（Ⅰ）求證：平面BDD1B1⊥平面C1OC；
（Ⅱ）求二面角C1-BD-C的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知三個互不重合的平面且 ，給出下列命題：
①則                   ②則
③若則                 ④若則
其中正確命題的個數(shù)為（ ）.
A．1B．2C．3D．4

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同步練習(xí)冊答案