已知圓的圓心C在直線y=-2x上,且與直線x+y-1=0相切于點(diǎn)A(2,-1)
(1)求圓C的方程
(2)經(jīng)過點(diǎn)B(8,-3)的一束光線射到T(t,0)后被x軸反射,反射光線與圓C有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
【答案】分析:(1)設(shè)圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,可得圓心C(a,b),把圓心C坐標(biāo)代入y=-2x得到關(guān)于a與b的方程,再由切點(diǎn)A在圓上,把A的坐標(biāo)代入所設(shè)的圓C方程,得到一個(gè)關(guān)系式,再由切線的性質(zhì)可得直線AO與切線垂直,由切線的斜率,根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1,得出關(guān)于a與b的另一個(gè)方程,把兩個(gè)關(guān)于a與b的方程聯(lián)立組成方程組,求出方程的解集得到a與b的值,再把求出的a與b的值代入關(guān)系式中求出r2,即可確定出圓C的方程;
(2)求出B關(guān)系x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′,設(shè)反射線方程的斜率為k,表示出反射線的方程,記作(ξ),當(dāng)該直線與圓C相切時(shí),圓心到直線的距離等于圓的半徑,故利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程,求出方程的解得到k的兩個(gè)值,可得出光的反射線與圓C有公共點(diǎn)時(shí)k的范圍,把反射點(diǎn)T的坐標(biāo)代入(ξ)中,用k表示出t,根據(jù)此時(shí)函數(shù)為增函數(shù),由k的范圍即可求出t的范圍.
解答:解:(1)設(shè)圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,
根據(jù)題意得:,
解得:,
則圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=2;
(2)易知點(diǎn)B(8,-3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B′(8,3),
則設(shè)光的反射線方程為y-3=k(x-8),即kx-y+3-8k=0(ξ),
若該直線與圓C相切,則有=,
解得:k=1或k=
則當(dāng)光的反射線與圓有公共點(diǎn)時(shí),k∈[,1],
將T(t,0)代入(ξ)中得:t=8-,
該函數(shù)在[,1]上是增函數(shù),
則實(shí)數(shù)t的范圍是[,5].
點(diǎn)評(píng):此題考查了直線與圓的位置關(guān)系,涉及的知識(shí)有:點(diǎn)到直線的距離公式,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系,關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的特點(diǎn),切線的性質(zhì),以及函數(shù)增減性的運(yùn)用,當(dāng)直線與圓相切時(shí),圓心到直線的距離等于圓的半徑,熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
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c2
=0
上,則m+c的值是
 

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(Ⅰ)求圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=kx+1與圓相交于P、Q兩點(diǎn),若
OP
OQ
=-2,求k的值;
(Ⅲ)已知直線l:y=kx+1,過點(diǎn)(0,1)作直線l1與l垂直,且直線l1與圓C交于M、N兩點(diǎn),求四邊形PQMN面積的最大值.

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