已知圓的圓心C在直線y=-2x上,且與直線x+y-1=0相切于點A(2,-1)
(1)求圓C的方程
(2)經(jīng)過點B(8,-3)的一束光線射到T(t,0)后被x軸反射,反射光線與圓C有公共點,求實數(shù)t的取值范圍.
分析:(1)設圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,可得圓心C(a,b),把圓心C坐標代入y=-2x得到關(guān)于a與b的方程,再由切點A在圓上,把A的坐標代入所設的圓C方程,得到一個關(guān)系式,再由切線的性質(zhì)可得直線AO與切線垂直,由切線的斜率,根據(jù)兩直線垂直時斜率的乘積為-1,得出關(guān)于a與b的另一個方程,把兩個關(guān)于a與b的方程聯(lián)立組成方程組,求出方程的解集得到a與b的值,再把求出的a與b的值代入關(guān)系式中求出r2,即可確定出圓C的方程;
(2)求出B關(guān)系x軸的對稱點B′,設反射線方程的斜率為k,表示出反射線的方程,記作(ξ),當該直線與圓C相切時,圓心到直線的距離等于圓的半徑,故利用點到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程,求出方程的解得到k的兩個值,可得出光的反射線與圓C有公共點時k的范圍,把反射點T的坐標代入(ξ)中,用k表示出t,根據(jù)此時函數(shù)為增函數(shù),由k的范圍即可求出t的范圍.
解答:解:(1)設圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,
根據(jù)題意得:
2a+b=0
(2-a)2+(1-b)2=r2
b+1
a-2
×(-1)=-1
,
解得:
a=1
b=-2
r2=2
,
則圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=2;
(2)易知點B(8,-3)關(guān)于x軸的對稱點為B′(8,3),
則設光的反射線方程為y-3=k(x-8),即kx-y+3-8k=0(ξ),
若該直線與圓C相切,則有
|5-7k|
k2+1
=
2
,
解得:k=1或k=
23
47

則當光的反射線與圓有公共點時,k∈[
23
47
,1],
將T(t,0)代入(ξ)中得:t=8-
3
k
,
該函數(shù)在[
23
47
,1]上是增函數(shù),
則實數(shù)t的范圍是[
43
23
,5].
點評:此題考查了直線與圓的位置關(guān)系,涉及的知識有:點到直線的距離公式,圓的標準方程,兩直線垂直時斜率滿足的關(guān)系,關(guān)于坐標軸對稱的點的特點,切線的性質(zhì),以及函數(shù)增減性的運用,當直線與圓相切時,圓心到直線的距離等于圓的半徑,熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
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c2
=0
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OP
OQ
=-2,求k的值;
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