在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=2,CC1=3,
CE
=2
EC1

(1)求點(diǎn)D1到平面BDE的距離;
(2)求直線A1B與平面BDE所成角的正弦值.
(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系:
D(0,0,0),B(2,4,0),E(0,4,2),D1(0,0,3),
DB
=(2,4,0),
DE
=(0,4,2)
,
DD1
=(0,0,3)
設(shè)面DBE的法向量為
n
=(x,y,z)
,
n
DB
n
DE
2x+4y=0
4y+2z=0

令y=1,則x=-2,z=-2.
n
=(-2,1,-2)
d=|
DD1
n
|
n
|
|=|
(0,0,3)•(-2,1,-2)
3
|=2

(2)A1(2,0,3),B(2,4,0),
A1B
=(0,4,-3)

設(shè)直線A1B與平面BDE所成的角為θ則sinθ=|cos<
A1B
n
>|=
|
A1B
n
|
|
A1B
||
n
|
=
10
5×3
=
2
3

所以直線A1B與平面BDE所成角的正弦值為
2
3

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥底面ABC,∠ACB=90°,E是棱CC1上動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)是AB中點(diǎn),AC=1,BC=2,AA1=4.
(1)當(dāng)E是棱CC1中點(diǎn)時(shí),求證:CF平面AEB1
(2)在棱CC1上是否存在點(diǎn)E,使得二面角A-EB1-B的余弦值是
2
17
17
,若存在,求CE的長,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).
(1)證明:CD⊥AE;
(2)證明:PD⊥平面ABE;
(3)求二面角B-PC-D的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠ACB=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,若PA=AB=2,∠BPC=θ,則當(dāng)△AEF的面積最大時(shí),tanθ的值為(  )
A.2B.
1
2
C.
2
D.
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=2,點(diǎn)E在棱CD上,且CE=
1
3
CD

(1)求證:AD1⊥平面A1B1D;
(2)在棱AA1上是否存在點(diǎn)P,使DP平面B1AE?若存在,求出線段AP的長;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)若二面角A-B1E-A1的余弦值為
30
6
,求棱AB的長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:CD⊥平面PAE;
(Ⅱ)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等,求四棱錐P-ABCD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,PDCE為矩形,ABCD為梯形,平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=
1
2
CD=a,PD=
2
a.
(1)若M為PA中點(diǎn),求證:AC平面MDE;
(2)求平面PAD與PBC所成銳二面角的大。ɡ恚
求二面角P-AC-D的正切值的大。ㄎ模

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中點(diǎn),P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點(diǎn).
(Ⅰ)求證:PB1平面A1BD;
(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的大小;
(Ⅲ)在直線B1P上是否存在一點(diǎn)Q,使得DQ⊥平面A1BD,若存在,求出Q點(diǎn)坐標(biāo),若不存在請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知是兩條異面直線,,那么的位置關(guān)系____________________。

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同步練習(xí)冊(cè)答案