【題目】已知F1、F2是橢圓 + =1的左、右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P(﹣1, )在橢圓上,線段PF2與y軸的交點(diǎn)M滿足 + = ;
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)⊙O是以F1F2為直徑的圓,一直線l:y=kx+m與⊙O相切,并與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B.當(dāng) =λ且滿足 ≤λ≤ 時(shí),求△AOB面積S的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵ + = ,∴點(diǎn)M是線段PF2的中點(diǎn),
∴OM是△PF1F2的中位線,
又OM⊥F1F2∴PF1⊥F1F2
∴ ,解得a2=2,b2=1,c2=1,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1.
(2)解:∵圓O與直線l相切,∴ ,即m2=k2+1,
由 ,消去y:(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,
∵直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn),
∴△>0,∴k2>0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=﹣ , ,
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=
= ,
=x1x2+y1y2= =λ,
∴ ,∴ ,解得: ,
S=S△AOB=
=
= ,
設(shè)μ=k4+k2,則 ,
S= , ,
∵S關(guān)于μ在[ ]上單調(diào)遞增,
S( )= ,S(2)= .
∴ .
【解析】(Ⅰ)由已知條件推導(dǎo)出 ,由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(Ⅱ)由圓O與直線l相切,和m2=k2+1,由 ,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,由此能求出△AOB面積S的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列判斷錯(cuò)誤的是( )
A.命題“若xy=0,則x=0”的否命題為“若xy≠0,則x≠0”
B.命題“?x∈R,x2﹣x﹣1≤0”的否定是“ ”
C.若p,q均為假命題,則p∧q為假命題
D.命題“?x∈[1,2],x2﹣a≤0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是a≥4
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【題目】已知函數(shù)f(x)= cos4x+2sinxcosx﹣ sin4x.
(1)當(dāng)x∈[0, ]時(shí),求f(x)的最大值、最小值以及取得最值時(shí)的x值;
(2)設(shè)g(x)=3﹣2m+mcos(2x﹣ )(m>0),若對(duì)于任意x1∈[0, ],都存在x2∈[0, ],使得f(x1)=g(x2)成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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【題目】設(shè)命題p:函數(shù)f(x)=lg(ax2﹣x+ )的值域?yàn)镽;命題q:3x﹣9x<a對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,如果命題“p且q”為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=4tanxsin( ﹣x)cos(x﹣ )﹣ .
(1)求f(x)的定義域與最小正周期;
(2)討論f(x)在區(qū)間[﹣ , ]上的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C的方程:x2+y2﹣2x﹣4y+m=0,其中m<5.
(1)若圓C與直線l:x+2y﹣4=0相交于M,N兩點(diǎn),且|MN|= ,求m的值;
(2)在(1)條件下,是否存在直線l:x﹣2y+c=0,使得圓上有四點(diǎn)到直線l的距離為 ,若存在,求出c的范圍,若不存在,說明理由.
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【題目】若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2﹣2x+2 y+3=0,則x﹣ y的取值范圍是( )
A.[2,+∞)
B.(2,6)
C.[2,6]
D.[﹣4,0]
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【題目】下表是檢測某種濃度的農(nóng)藥隨時(shí)間x(秒)滲入某種水果表皮深度y(微米)的一組結(jié)果.
時(shí)間x(秒) | 5 | 10 | 15 | 20 | 30 |
深度y(微米) | 6 | 10 | 10 | 13 | 16 |
(1)在規(guī)定的坐標(biāo)系中,畫出 x,y 的散點(diǎn)圖;
(2)求y與x之間的回歸方程,并預(yù)測40秒時(shí)的深度(回歸方程精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位;預(yù)測結(jié)果精確到整數(shù)). 回歸方程: =bx+a,其中 = ,a= ﹣b .
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【題目】函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω,0,|φ|< )的部分圖象如圖所示.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函數(shù)F(x)=3[f(x﹣ )]2+mf(x﹣ )+2在區(qū)間[0, ]上有四個(gè)不同零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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