Question

【題目】已知函數(shù)，為實數(shù).

（1）討論在上的奇偶性；（只要寫出結論，不需要證明）

（2）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）當時，求函數(shù)在上的最大值.

Answer 1

【答案】（1）時，奇函數(shù)：時，非奇非偶函數(shù)；

（2）時，遞增；時，在和上遞增，在上遞減；

（3）當，；當，.

【解析】

（1）因為,可得,對進行討論,結合奇偶函數(shù)的定義即可求得答案;

（2）分別討論和兩種情況,即可求得時,函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

（3）結合（2）的結論,根據(jù)單調(diào)性,即可求得函數(shù)在上的最大值.

（1）

當時,,此時是奇函數(shù)

當時,是奇函數(shù)非奇非偶函數(shù).

（2）

①當時,,

此時，函數(shù)在區(qū)間和上均為增函數(shù)，又該函數(shù)在上連續(xù)，

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

②當時, ，

當時，，當時，，

函數(shù)在和上遞增,在上遞減.

綜上所述，時，遞增；時，在和上遞增，在上遞減；

（3）由（2）可知當時,為增函數(shù),

當時,

此時對稱軸為:,

當,此時函數(shù)在上遞減,

,

若,解得,此時，

即當時，函數(shù)在閉區(qū)間上最大值為，

若,解得時,函數(shù)在閉區(qū)間上最大值為.

綜上所述,當,;

當,.